On the tangent degree and the degree of the tangent variety of a projective variety

Resumo Técnico: Sobre o Grau da Tangente e o Grau da Variedade Tangente de uma Variedade Projetiva

Enunciado do Problema
O artigo investiga dois invariantes primários associados a uma variedade projetiva $X^n \subset \mathbb{P}^N$: o grau da tangente $\tau(X)$ e o grau da variedade tangente $\deg(\text{Tan}(X))$.

• O grau da tangente $\tau(X)$ é definido como o número de espaços tangentes a $X$ em pontos suaves que passam por um ponto geral da variedade tangente $\text{Tan}(X)$. Se $\dim(\text{Tan}(X)) < 2n$, $\tau(X)$ é zero.
• O estudo foca na relação entre esses invariantes, particularmente em casos onde $N \ge 2n$ e onde a variedade tangente não coincide com a variedade secante ($\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$).
• Uma motivação central é a generalização de fatos elementares sobre curvas planas (onde $\tau(X) \ge 2$ para $\deg(X) \ge 2$) para dimensões superiores, abordando especificamente a não existência de variedades com $\tau(X)=1$ no caso $N=2n$ e a classificação de variedades onde $\tau(X)=2$.

Metodologia
Os autores empregam uma síntese de geometria projetiva clássica, geometria diferencial e técnicas de geometria algébrica moderna:

1. Loci Focais e Famílias Desenvolvidas: O artigo utiliza a teoria dos focos para famílias de espaços lineares. Analisa-se o diferencial do morfismo tautológico $q: TX \to \text{Tan}(X)$ para identificar pontos focais. O conceito de variedades "desenvolvidas" (onde o espaço tangente é constante ao longo de certas subvariedades) é central para a análise de singularidades e contagens de dimensão.
2. Segunda Forma Fundamental: Os autores utilizam extensivamente a segunda forma fundamental $|II_{x,X}|$ da variedade em um ponto geral $x$. Relacionam o núcleo do diferencial do mapa de Gauss com o lugar base da segunda forma fundamental e a existência de direções assintóticas.
3. Mapas de Scorza e Loci de Entrada: Para variedades em $\mathbb{P}^{2n}$, o mapa de Scorza é usado para estabelecer birracionalidade entre a variedade e seu espaço tangente geral quando $\tau(X)=2$. As propriedades dos loci de entrada (especificamente variedades QEL com loci de entrada quadráticos) são aproveitadas para classificar variedades suaves com $\tau(X)=2$.
4. Indução e Projeção: Para estabelecer limites inferiores para $\deg(\text{Tan}(X))$ quando $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$, os autores usam indução na codimensão, analisando o comportamento dos graus sob projeções genéricas a partir de pontos na variedade.
5. Classificação via Sistemas Lineares: A classificação de superfícies com $\tau(X) \ge 2$ envolve analisar o defeito de Gauss $\varrho(X)$ e a estrutura do lugar singular da variedade tangente, levando à identificação de estruturas específicas de rolos (variedades de Roth).

Principais Contribuições e Resultados

1. O Grau da Tangente em $\mathbb{P}^{2n}$

• Não existência de $\tau(X)=1$: O artigo prova que para uma variedade irredutível $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$, $\tau(X) \neq 1$. Se $\text{Tan}(X) = \mathbb{P}^{2n}$, então $\tau(X) \ge 2$.
• Classificação de $\tau(X)=2$:
  • Se $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$ é suave e $\tau(X)=2$, então $X$ é uma variedade QEL do tipo $\delta=1$.
  • Dimensão Par: As únicas variedades suaves de dimensão par com $\tau(X)=2$ são rolos normais racionais $S(1, \dots, 1, 2) \subset \mathbb{P}^{4m}$.
  • Dimensão Ímpar: Variedades suaves de dimensão ímpar com $\tau(X)=2$ são ou rolos normais racionais ou variedades de Fano específicas de dimensão ímpar (por exemplo, trêsfolds de del Pezzo primos e cincofoldes de Mukai).
  • Casos Singulares: Os autores constroem exemplos singulares de dimensão e grau arbitrariamente grandes com $\tau(X)=2$, incluindo projeções de variedades OADP (variedades com um ponto duplo aparente) e variedades de Verra.

2. Limites Inferiores para $\deg(\text{Tan}(X))$

• O artigo estabelece um limite inferior linear para o grau da variedade tangente quando $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$.
• Teorema: Se $X^n \subset \mathbb{P}^N$ é não degenerada e $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$, então:
  $$\deg(\text{Tan}(X)) \ge 2(N - \dim(\text{Tan}(X)) + 1)$$
• Este limite é mostrado ser agudo. A igualdade é atingida por rolos normais racionais suaves e certas variedades singulares construídas como cones sobre eles.
• Em contraste, se $\text{Tan}(X) = \text{Sec}(X)$, o limite de grau é quadrático na codimensão (referenciando [6]).

3. Classificação de Superfícies com $\tau(X) \ge 2$

• Para superfícies irredutíveis não degeneradas $X^2 \subset \mathbb{P}^N$ com $N \ge 5$ e $\tau(X) \ge 2$, o artigo fornece uma classificação completa baseada no defeito de Gauss $\varrho(X)$:
  • Caso $\varrho(X)=2$: $N=5$, e $X$ é projetivamente equivalente à superfície de Veronese $\nu_2(\mathbb{P}^2)$. Aqui $\tau(X)=2$.
  • Caso $\varrho(X)=3$: $X$ está contida em um rolo desenvolvido tridimensional em planos $Y^3 \subset \mathbb{P}^N$. O plano geral do rolo intersecta $X$ em uma curva de grau $b \ge 2$.
• Superfícies Suaves Linearmente Normais: Se $X$ é suave e linearmente normal, as únicas possibilidades são:
  1. A superfície de Veronese em $\mathbb{P}^5$ ($\tau=2$).
  2. Superfícies de Roth: $X \subset S(L, Z) \subset \mathbb{P}^N$, onde $S(L, Z)$ é um cone sobre um rolo normal racional suave $Z$ com vértice uma linha $L$. Estas superfícies têm grau $d = b(N-2) + 1$ e grau da tangente $\tau(X) = b^2$ para algum inteiro $b \ge 2$.

Significado e Afirmações
Os autores posicionam este trabalho como uma unificação de resultados dispersos na teoria dos focos, variedades desenvolvidas e defeitos secantes.

• Unificação: O artigo coleta e esclarece a relação entre o grau da tangente, a segunda forma fundamental e a geometria da variedade tangente, fornecendo um quadro coerente para estudar variedades onde o mapa tangente não é birracional.
• Classificação: Oferece uma classificação definitiva para variedades suaves com $\tau(X)=2$ em $\mathbb{P}^{2n}$ e para superfícies com $\tau(X) \ge 2$ em codimensões superiores.
• Caracterização Geométrica: Os resultados fornecem uma nova caracterização geométrica das variedades de Roth (variedades suaves linearmente normais onde o divisor duplo de uma projeção geral não é amplo) especificamente para superfícies, ligando-as à condição $\tau(X) \ge 2$ e $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$.
• Agiude: O artigo demonstra que o limite inferior linear derivado para o grau da variedade tangente é ótimo, contrastando-o com o limite quadrático para variedades secantes.

Os autores reconhecem que, embora os resultados para $n=2$ estejam completos, a existência de variedades QEL suaves do tipo $\delta=1$ com $\tau(X)=2$ para $n \ge 3$ (especificamente dimensões ímpares $n=2m+1$ com $m \ge 3$) permanece uma questão em aberto, sugerindo que a classificação no Corolário 15 pode não ser exaustiva para dimensões superiores.