On the tangent degree and the degree of the tangent variety of a projective variety

技术摘要：关于射影簇的切次数与切簇的次数

问题陈述
本文研究了与射影簇 $X^n \subset \mathbb{P}^N$ 相关的两个主要不变量：切次数 $\tau(X)$ 和切簇的次数 $\deg(\text{Tan}(X))$。

• 切次数 $\tau(X)$ 定义为：在切簇 $\text{Tan}(X)$ 的一般点处，经过该点的 $X$ 在光滑点处的切空间的个数。若 $\dim(\text{Tan}(X)) < 2n$，则 $\tau(X)$ 为零。
• 本研究聚焦于这些不变量之间的关系，特别是在 $N \ge 2n$ 且切簇不与割线簇重合（$\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$）的情形下。
• 核心动机是将关于平面曲线的基本事实（当 $\deg(X) \ge 2$ 时 $\tau(X) \ge 2$）推广到更高维，特别是解决在 $N=2n$ 情形下不存在 $\tau(X)=1$ 的簇的问题，并对 $\tau(X)=2$ 的簇进行分类。

方法论
作者综合运用了经典射影几何、微分几何和现代代数几何技术：

1. 焦轨迹与可展族：文章利用线性空间族的焦轨迹理论。通过分析全纯映射 $q: TX \to \text{Tan}(X)$ 的微分来识别焦点。“可展”簇（即沿某些子簇切空间恒定的簇）的概念是分析奇点和维数计数的核心。
2. 第二基本形式：作者广泛使用了簇在一般点 $x$ 处的第二基本形式 $|II_{x,X}|$。他们将高斯映射微分的核与第二基本形式的基点以及渐近方向的存在性联系起来。
3. Scorza 映射与入口轨迹：对于 $\mathbb{P}^{2n}$ 中的簇，当 $\tau(X)=2$ 时，利用 Scorza 映射建立簇与其一般切空间之间的双有理等价。利用入口轨迹的性质（特别是具有二次入口轨迹的 QEL-簇），对 $\tau(X)=2$ 的光滑簇进行分类。
4. 归纳与投影：为了在 $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$ 时确立 $\deg(\text{Tan}(X))$ 的下界，作者对余维数进行归纳，分析从簇上的点出发的通用投影下度的行为。
5. 通过线性系统的分类：对 $\tau(X) \ge 2$ 的曲面的分类涉及分析高斯亏量 $\varrho(X)$ 和切簇奇点轨迹的结构，从而识别出特定的直纹结构（Roth 簇）。

主要贡献与结果

1. $\mathbb{P}^{2n}$ 中的切次数

• $\tau(X)=1$ 的不存在性：文章证明了对于不可约簇 $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$，$\tau(X) \neq 1$。若 $\text{Tan}(X) = \mathbb{P}^{2n}$，则 $\tau(X) \ge 2$。
• $\tau(X)=2$ 的分类：
  • 若 $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$ 是光滑的且 $\tau(X)=2$，则 $X$ 是类型为 $\delta=1$ 的 QEL-簇。
  • 偶数维：具有 $\tau(X)=2$ 的唯一光滑偶数维簇是射入 $\mathbb{P}^{4m}$ 的有理正规直纹面 $S(1, \dots, 1, 2)$。
  • 奇数维：具有 $\tau(X)=2$ 的光滑奇数维簇要么是有理正规直纹面，要么是特定的奇数维 Fano 流形（例如素 del Pezzo 三维流形和 Mukai 五次流形）。
  • 奇异情形：作者构造了具有 $\tau(X)=2$ 的任意大维数和次数的奇异例子，包括 OADP-簇（具有一个表见二重点的簇）和 Verra 簇的投影。

2. $\deg(\text{Tan}(X))$ 的下界

• 文章确立了当 $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$ 时，切簇次数的线性下界。
• 定理：若 $X^n \subset \mathbb{P}^N$ 是非退化的且 $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$，则：
  $$\deg(\text{Tan}(X)) \ge 2(N - \dim(\text{Tan}(X)) + 1)$$
• 该下界被证明是紧的。等号由光滑有理正规直纹面以及作为它们上锥构造的某些奇异簇达到。
• 相比之下，若 $\text{Tan}(X) = \text{Sec}(X)$，则次数界在余维数上是二次的（参见文献 [6]）。

3. $\tau(X) \ge 2$ 的曲面分类

• 对于非退化不可约曲面 $X^2 \subset \mathbb{P}^N$，其中 $N \ge 5$ 且 $\tau(X) \ge 2$，文章基于高斯亏量 $\varrho(X)$ 提供了完整分类：
  • 情形 $\varrho(X)=2$：$N=5$，且 $X$ 射影等价于 Veronese 曲面 $\nu_2(\mathbb{P}^2)$。此处 $\tau(X)=2$。
  • 情形 $\varrho(X)=3$：$X$ 包含在 $\mathbb{P}^N$ 中的三维可展平面直纹面 $Y^3$ 内。该直纹面的一般平面与 $X$ 相交于一条次数 $b \ge 2$ 的曲线。
• 光滑线性正规曲面：若 $X$ 是光滑且线性正规的，则仅有以下可能：
  1. $\mathbb{P}^5$ 中的 Veronese 曲面（$\tau=2$）。
  2. Roth 曲面：$X \subset S(L, Z) \subset \mathbb{P}^N$，其中 $S(L, Z)$ 是以直线 $L$ 为顶点、光滑有理正规直纹面 $Z$ 为底的锥。这些曲面的次数为 $d = b(N-2) + 1$，切次数为 $\tau(X) = b^2$，其中 $b \ge 2$ 为某整数。

意义与主张
作者将这项工作定位为对焦点理论、可展簇理论和割线亏量理论中分散结果的统一。

• 统一：文章收集并阐明了切次数、第二基本形式与切簇几何之间的关系，为研究切映射非双有理的簇提供了一个连贯的框架。
• 分类：它提供了 $\mathbb{P}^{2n}$ 中 $\tau(X)=2$ 的光滑簇以及高余维数中 $\tau(X) \ge 2$ 的曲面的决定性分类。
• 几何刻画：结果提供了 Roth 簇（其一般投影的双除子非 ample 的光滑线性正规簇）的新几何刻画，特别是针对曲面，将它们与条件 $\tau(X) \ge 2$ 和 $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$ 联系起来。
• 紧性：文章证明了导出的切簇次数线性下界是最优的，并将其与割线簇的二次界进行了对比。

作者承认，虽然 $n=2$ 的结果是完整的，但对于 $n \ge 3$（特别是奇数维 $n=2m+1$ 且 $m \ge 3$）是否存在类型为 $\delta=1$ 且 $\tau(X)=2$ 的光滑 QEL-流形，仍然是一个未决问题，这表明推论 15 中的分类对于更高维可能不是完备的。