Dividing the Spoils in Team Contests

Sintesi Tecnica: Dividere il Bottino nelle Competizioni a Squadre

Enunciato del Problema
Questo lavoro esamina l'allocazione strategica di un premio collettivo all'interno di una squadra che compete in una competizione multi-battaglia. Il contesto coinvolge due squadre rivali (A e B), ciascuna gestita da un decisore che deve simultaneamente ripartire un budget specifico per la squadra ($W_i$) tra $2N+1$ battaglie a coppie eterogenee. La squadra che vince la maggioranza delle battaglie si aggiudica il premio collettivo. A differenza dei modelli di competizione standard in cui le strutture dei premi sono esogene, questo studio endogenizza la divisione interna del premio. I manager scelgono le quote del premio ($v_{it}$) per ciascuna battaglia $t$, condizionate alla vittoria della squadra, per massimizzare la probabilità di vincere la maggioranza. La sfida strategica fondamentale è che lo sforzo di un giocatore in una specifica battaglia dipende non solo dallo sforzo diretto dell'avversario, ma anche dalla "pivotalità" di quella battaglia: quanto è probabile che una vittoria in quel fronte specifico determini la vittoria complessiva della squadra. Inoltre, la funzione obiettivo del manager è altamente non lineare, poiché la probabilità di vincere la maggioranza non è quasiconcava nel vettore delle probabilità di vittoria delle singole battaglie, complicando l'esistenza di un equilibrio.

Metodologia
Gli autori modellano l'interazione come un gioco a due stadi:

1. Stadio 1: I manager annunciano simultaneamente i vettori di allocazione dei premi $v_i = (v_{i1}, \dots, v_{i,2N+1})$ soggetti ai vincoli di bilancio $\sum v_{it} = W_i$.
2. Stadio 2: I giocatori accoppiati in ciascuna battaglia esercitano uno sforzo $e_{it}$ secondo una funzione generalizzata di successo nella competizione (CSF) di Tullock con potere discriminatorio $r_t \in (0, 1]$. La probabilità di vincere la battaglia $t$ è determinata dal rapporto degli sforzi efficaci.

L'analisi procede risolvendo il secondo stadio per derivare le probabilità di vittoria in forma ridotta, che si dimostra dipendere solo dal rapporto tra premi e costi all'interno di quella specifica battaglia, a condizione che nessuna squadra abbia già assicurato la maggioranza. Lo stadio uno viene quindi analizzato utilizzando strumenti della teoria dei giochi. Un ostacolo tecnico critico è stabilire l'esistenza di un equilibrio di Nash in strategie pure. Gli autori dimostrano che la probabilità di vittoria della squadra è log-concava nella strategia di allocazione del manager. Questa proprietà non è banale poiché la funzione di aggregazione della maggioranza non è quasiconcava. La prova della log-concavità si basa sulla dimostrazione che una specifica matrice strutturata, derivata dalla covarianza condizionata degli esiti delle battaglie data la vittoria della squadra, è semidefinita positiva. Ciò è ottenuto attraverso una decomposizione coefficiente per coefficiente di una matrice polinomiale in blocchi che vengono verificati come semidefiniti positivi.

Risultati Chiave
Il lavoro caratterizza un unico equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi in strategie pure con le seguenti proprietà:

1. Proprietà del Premio Proporzionale: In equilibrio, entrambi i manager allocano i loro budget tra le battaglie in proporzioni relative identiche. Nello specifico, il rapporto tra i premi assegnati a qualsiasi battaglia $t$ dalle due squadre è uguale al rapporto tra i loro budget totali:
   $$\frac{v^*_{Bt}}{v^*_{At}} = \frac{W_B}{W_A}$$
   Ciò vale indipendentemente dall'eterogeneità nei costi dei giocatori ($c_{it}$) o nelle tecnologie di battaglia ($r_t$). Se i budget sono uguali ($W_A = W_B$), le quote assolute del premio sono identiche ($v^*_{At} = v^*_{Bt}$).

2. Allocazione Basata sulla Rilevanza: La quota comune del budget assegnata alla battaglia $t$ è proporzionale alla sua rilevanza ($S_t$):
   $$v^*_{it} = W_i \cdot \frac{S_t}{\sum_{\tau} S_\tau}$$
   La rilevanza è definita come il prodotto di tre componenti:

   • Potere Discriminatorio ($r_t$): La sensibilità dell'esito della battaglia allo sforzo.
   • Simmetria ($p^*_{At} p^*_{Bt}$): Il prodotto delle probabilità di vittoria in equilibrio, che è massimizzato quando i giocatori sono equamente matched.
   • Pivotalità ($\theta^*(t)$): La probabilità che le restanti battaglie si dividano equamente, rendendo la battaglia $t$ decisiva per la maggioranza.

   Di conseguenza, le risorse fluiscono verso battaglie che sono simultaneamente contestabili (alta simmetria e potere discriminatorio) e conseguenti (alta pivotalità). Battaglie quasi predeterminate o quelle poco probabili di influenzare l'esito della maggioranza ricevono quote minime.

3. Robustezza alla Struttura Temporale: L'allocazione di equilibrio e le probabilità di vittoria sono invarianti rispetto all'ordine temporale delle battaglie (simultaneo, sequenziale o ibrido). Ciò è dovuto al fatto che l'incentivo marginale per un giocatore è il premio assegnato moltiplicato per l'aumento della probabilità di vittoria della squadra, un termine che è identico per entrambi i giocatori competenti indipendentemente da quando si verifica la battaglia.

4. Statica Comparata:

   • Rafforzare una squadra (abbassando i costi dei membri o aumentando il premio della squadra) aumenta strettamente la probabilità di vittoria di quella squadra, anche mentre le allocazioni si adattano su tutti i fronti.
   • In battaglie ben matchate, l'allocazione dipende esclusivamente dalla tecnologia della competizione; battaglie più discriminatorie comandano quote maggiori.
   • Il costo totale aggregato dello sforzo è scomposto nel budget totale, nella rilevanza totale e nell'Indice di Herfindahl-Hirschman (HHI) delle quote di rilevanza. Una maggiore concentrazione della rilevanza (disuguaglianza nell'importanza delle battaglie) aumenta i costi totali dello sforzo.

Significato e Contributi
Il lavoro apporta tre contributi principali alla letteratura sulle competizioni a squadre e sulla progettazione dei premi:

1. Endogenizzazione dell'Allocazione Interna: Mentre la letteratura esistente sulle competizioni a squadre (ad es. Fu, Lu e Pan, 2015; H¨afner, 2017) tratta tipicamente la condivisione dei premi all'interno della squadra come esogena, questo lavoro risolve il problema strategico decentralizzato in cui i manager progettano simultaneamente le divisioni interne. Questa endogenizzazione rivela che la "rilevanza" di una battaglia è un risultato di equilibrio, non un primitivo.

2. Risoluzione dell'Esistenza in Ambienti Non Concavi: Il lavoro fornisce una prova rigorosa dell'esistenza dell'equilibrio in un contesto in cui la funzione obiettivo (probabilità di vittoria della maggioranza) non è né concava né quasiconcava. Stabilendo la log-concavità attraverso una nuova tecnica di decomposizione matriciale che coinvolge covarianze condizionate, gli autori estendono l'applicabilità delle condizioni del primo ordine all'ottimalità globale in complessi ambienti multi-battaglia.

3. La Convergenza del Premio Proporzionale: La scoperta che i manager rivali convergono su regole di allocazione relative identiche, nonostante affrontino strutture di costi e dimensioni di budget diverse, offre una forte previsione teorica. Suggerisce che nelle competizioni a squadre maggioritarie, la distribuzione relativa delle risorse è guidata dall'importanza strutturale delle battaglie (pivotalità e contestabilità) piuttosto che dalle capacità assolute delle squadre. Ciò contrasta con modelli in cui i progettisti potrebbero biasare le allocazioni per favorire squadre più deboli; qui, l'interazione strategica forza una convergenza sui fronti "più contestati e più pivotali".

I risultati risuonano con la letteratura di economia politica sul targeting degli elettori fluttuanti (ad es. Str¨omberg, 2008; Dixit e Londregan, 1996) ma differiscono introducendo agenti strategici (giocatori) sul campo di battaglia, rendendo la contestabilità endogena allo sforzo piuttosto che una funzione fissa delle preferenze degli elettori. Il quadro è applicabile alle elezioni legislative, agli appalti per la difesa e agli sport di squadra, offrendo una spiegazione unificata su come le organizzazioni priorizzino le risorse attraverso molteplici fronti competitivi.