Dividing the Spoils in Team Contests

技术摘要：团队竞赛中的战利品分配

问题陈述
本文研究在参与多场战役的团队竞赛中，集体奖品的战略分配问题。该情境涉及两个竞争团队（A 和 B），每个团队由一名决策者管理，该决策者必须同时将团队特定的预算（$W_i$）分配给$2N+1$场异质的成对战役。赢得多数战役的团队将获得集体奖品。与将奖品结构视为外生的标准竞赛模型不同，本研究将内部奖品分配内生化。管理者根据团队获胜的条件，为每场战役$t$选择奖品份额（$v_{it}$），以最大化赢得多数的概率。核心战略挑战在于，玩家在特定战役中的努力不仅取决于直接对手的努力，还取决于该战役的“关键性”——即在该特定战线获胜对决定团队整体胜利的可能性。此外，管理者的目标函数具有高度非线性特征，因为赢得多数的概率在战役获胜概率向量中并非拟凹的，这使得均衡的存在性变得复杂。

方法论
作者将互动建模为一个两阶段博弈：

1. 第一阶段：管理者同时宣布奖品分配向量$v_i = (v_{i1}, \dots, v_{i,2N+1})$，受预算约束$\sum v_{it} = W_i$。
2. 第二阶段：每场战役中匹配的选手根据具有区分度$r_t \in (0, 1]$的广义图洛克竞赛成功函数（CSF） exert 努力$e_{it}$。赢得战役$t$的概率由有效努力的比率决定。

分析通过求解第二阶段得出简化形式的获胜概率，结果表明，只要没有团队已经确保多数，这些概率仅取决于该特定战役内奖品与成本的比率。随后利用博弈论工具分析第一阶段。一个关键的技术障碍是确立纯策略纳什均衡的存在性。作者证明，团队的获胜概率在管理者的分配策略中是对数凹的。这一性质并非显而易见，因为多数聚合函数本身并非拟凹的。对数凹性的证明依赖于表明，一个由给定团队获胜条件下的战役结果条件协方差导出的特定结构化矩阵是半正定的。这是通过将多项式矩阵按系数分解为被验证为半正定的块来实现的。

主要结果
本文刻画了一个具有如下性质的唯一纯策略子博弈完美纳什均衡：

1. 比例奖品属性：在均衡中，两名管理者以相同的相对比例在各战役间分配其预算。具体而言，两支队伍分配给任意战役$t$的奖品比率等于其总预算的比率：
   $$\frac{v^*_{Bt}}{v^*_{At}} = \frac{W_B}{W_A}$$
   无论玩家成本（$c_{it}$）或战役技术（$r_t$）的异质性如何，此结论均成立。如果预算相等（$W_A = W_B$），则绝对奖品份额也相同（$v^*_{At} = v^*_{Bt}$）。

2. 基于显著性的分配：分配给战役$t$的预算共同份额与其显著性（$S_t$）成正比：
   $$v^*_{it} = W_i \cdot \frac{S_t}{\sum_{\tau} S_\tau}$$
   显著性定义为三个组成部分的乘积：

   • 区分度（$r_t$）：战役结果对努力的敏感度。
   • 对称性（$p^*_{At} p^*_{Bt}$）：均衡获胜概率的乘积，当势均力敌时达到最大。
   • 关键性（$\theta^*(t)$）：剩余战役平分，使得战役$t$对多数结果具有决定性作用的概率。

   因此，资源流向那些同时具有可竞争性（高对称性和高区分度）和重要性（高关键性）的战役。近乎预定的战役或不太可能影响多数结果的战役获得的份额极少。

3. 对时间结构的稳健性：均衡分配和获胜概率不随战役的时间顺序（同时、顺序或混合）而变化。这是因为玩家面临的边际激励是分配的奖品乘以团队获胜概率的增加量，这一项对于无论战役何时发生的竞争双方都是相同的。

4. 比较静态分析：

   • 加强一个团队（降低成员成本或增加团队奖品）会严格提高该团队的获胜概率，即使分配在所有战线上进行了调整。
   • 在势均力敌的战役中，分配仅取决于竞赛技术；区分度更高的战役占据更大的份额。
   • 总努力成本被分解为总预算、总显著性以及显著性份额的赫芬达尔 - 赫希曼指数（HHI）。显著性集中度越高（战役重要性的不平等程度越大），总努力成本越高。

意义与贡献
本文对团队竞赛和奖品设计文献做出了三项主要贡献：

1. 内部分配的内生化：虽然现有的团队竞赛文献（例如 Fu, Lu, and Pan, 2015; H¨afner, 2017）通常将团队内部的奖品分享视为外生，但本文解决了管理者同时设计内部划分的去中心化战略问题。这种内生化揭示出，战役的“显著性”是一个均衡结果，而非原始参数。

2. 非凹环境中的均衡存在性解决：本文在目标函数（多数获胜概率）既非凹也非拟凹的情境下，提供了均衡存在的严格证明。通过利用涉及条件协方差的新型矩阵分解技术确立对数凹性，作者将一阶条件在复杂多战役环境中的适用范围扩展至全局最优性。

3. 比例奖品的收敛：研究发现，尽管面临不同的成本结构和预算规模，竞争管理者会收敛于相同的相对分配规则，这提供了一个强有力的理论预测。这表明，在多数决团队竞赛中，资源的相对分布是由战役的结构重要性（关键性和可竞争性）驱动的，而非团队的绝对能力。这与那些设计者可能通过分配偏袒较弱团队的模型形成对比；在此，战略互动迫使各方收敛于“竞争最激烈且最关键”的战线。

这些结果与关于瞄准摇摆选民的政治经济学文献（例如 Str¨omberg, 2008; Dixit and Londregan, 1996）产生共鸣，但不同之处在于引入了战场上的战略行动者（玩家），使得可竞争性内生取决于努力，而非选民偏好的固定函数。该框架适用于立法选举、国防采购和团队运动，为组织如何在多个竞争战线上优先配置资源提供了统一的解释。