Dividing the Spoils in Team Contests

Résumé technique : Le partage des dépouilles dans les concours d'équipes

Énoncé du problème
Cet article examine l'allocation stratégique d'une récompense collective au sein d'une équipe participant à un concours multi-batailles. Le cadre implique deux équipes rivales (A et B), chacune dirigée par un décideur qui doit simultanément répartir un budget spécifique à l'équipe ($W_i$) parmi $2N+1$ affrontements par paires hétérogènes. L'équipe qui remporte la majorité des batailles s'adjuge la récompense collective. Contrairement aux modèles de concours standards où les structures de récompenses sont exogènes, cette étude endogénéise la répartition interne des prix. Les managers choisissent des parts de prix ($v_{it}$) pour chaque bataille $t$, conditionnelles à la victoire de l'équipe, afin de maximiser la probabilité de remporter la majorité. Le défi stratégique central réside dans le fait que l'effort d'un joueur dans une bataille spécifique dépend non seulement de l'effort de l'adversaire direct, mais aussi de la « pivotité » de cette bataille — c'est-à-dire de la probabilité qu'une victoire sur ce front spécifique détermine la victoire globale de l'équipe. De plus, la fonction objectif du manager est hautement non linéaire, car la probabilité de gagner la majorité n'est pas quasi-concave par rapport au vecteur des probabilités de victoire par bataille, ce qui complique l'existence d'un équilibre.

Méthodologie
Les auteurs modélisent l'interaction comme un jeu à deux étapes :

1. Étape 1 : Les managers annoncent simultanément des vecteurs d'allocation de prix $v_i = (v_{i1}, \dots, v_{i,2N+1})$ soumis aux contraintes budgétaires $\sum v_{it} = W_i$.
2. Étape 2 : Les joueurs appariés dans chaque bataille exercent un effort $e_{it}$ selon une fonction de succès de concours (CSF) de Tullock généralisée avec un pouvoir discriminatoire $r_t \in (0, 1]$. La probabilité de gagner la bataille $t$ est déterminée par le rapport des efforts effectifs.

L'analyse procède en résolvant la deuxième étape pour dériver des probabilités de victoire sous forme réduite, qui s'avèrent dépendre uniquement du rapport des prix et des coûts au sein de cette bataille spécifique, à condition qu'aucune équipe n'ait déjà sécurisé la majorité. La première étape est ensuite analysée à l'aide d'outils de théorie des jeux. Un obstacle technique critique consiste à établir l'existence d'un équilibre de Nash en stratégies pures. Les auteurs démontrent que la probabilité de victoire de l'équipe est log-concave par rapport à la stratégie d'allocation du manager. Cette propriété est non triviale car la fonction d'agrégation majoritaire n'est pas quasi-concave. La preuve de la log-concavité repose sur la démonstration qu'une matrice structurée spécifique, dérivée de la covariance conditionnelle des résultats des batailles étant donnée la victoire de l'équipe, est semi-définie positive. Cela est obtenu par une décomposition coefficient par coefficient d'une matrice polynomiale en blocs qui sont vérifiés comme étant semi-définis positifs.

Résultats clés
L'article caractérise un équilibre unique de Nash parfait en sous-jeu en stratégies pures présentant les propriétés suivantes :

1. Propriété du prix proportionnel : À l'équilibre, les deux managers allouent leurs budgets aux batailles selon des proportions relatives identiques. Plus précisément, le rapport des prix attribués à n'importe quelle bataille $t$ par les deux équipes est égal au rapport de leurs budgets totaux :
   $$\frac{v^*_{Bt}}{v^*_{At}} = \frac{W_B}{W_A}$$
   Cela vaut indépendamment de l'hétérogénéité des coûts des joueurs ($c_{it}$) ou des technologies de bataille ($r_t$). Si les budgets sont égaux ($W_A = W_B$), les parts de prix absolues sont identiques ($v^*_{At} = v^*_{Bt}$).

2. Allocation basée sur la saillance : La part commune du budget attribuée à la bataille $t$ est proportionnelle à sa saillance ($S_t$) :
   $$v^*_{it} = W_i \cdot \frac{S_t}{\sum_{\tau} S_\tau}$$
   La saillance est définie comme le produit de trois composantes :

   • Pouvoir discriminatoire ($r_t$) : La sensibilité du résultat de la bataille à l'effort.
   • Symétrie ($p^*_{At} p^*_{Bt}$) : Le produit des probabilités de victoire à l'équilibre, qui est maximisé lorsque les joueurs sont également assortis.
   • Pivotité ($\theta^*(t)$) : La probabilité que les batailles restantes se partagent équitablement, rendant la bataille $t$ décisive pour la majorité.

   Par conséquent, les ressources affluent vers les batailles qui sont à la fois contestables (forte symétrie et pouvoir discriminatoire) et conséquentes (forte pivotité). Les batailles presque prédestinées ou celles peu susceptibles d'affecter le résultat majoritaire reçoivent des parts minimales.

3. Robustesse à la structure temporelle : L'allocation d'équilibre et les probabilités de victoire sont invariantes à l'ordre temporel des batailles (simultanées, séquentielles ou hybrides). Cela s'explique par le fait que l'incitation marginale pour un joueur est le prix attribué multiplié par l'augmentation de la probabilité de victoire de l'équipe, un terme qui est identique pour les deux joueurs concurrents indépendamment du moment où la bataille se déroule.

4. Statique comparative :

   • Renforcer une équipe (en réduisant les coûts des membres ou en augmentant le prix de l'équipe) augmente strictement la probabilité de victoire de cette équipe, même lorsque les allocations s'ajustent sur tous les fronts.
   • Dans les batailles bien assorties, l'allocation dépend uniquement de la technologie du concours ; les batailles plus discriminantes commandent des parts plus importantes.
   • Le coût total de l'effort agrégé est décomposé en le budget total, la saillance totale et l'indice de Herfindahl-Hirschman (HHI) des parts de saillance. Une concentration plus élevée de la saillance (inégalité dans l'importance des batailles) augmente les coûts totaux d'effort.

Importance et contributions
L'article apporte trois contributions principales à la littérature sur les concours d'équipes et la conception des prix :

1. Endogénéisation de l'allocation interne : Alors que la littérature existante sur les concours d'équipes (par exemple, Fu, Lu et Pan, 2015 ; H¨afner, 2017) traite généralement le partage des prix au sein de l'équipe comme exogène, cet article résout le problème stratégique décentralisé où les managers conçoivent simultanément les répartitions internes. Cette endogénéisation révèle que la « saillance » d'une bataille est un résultat d'équilibre et non un élément primitif.

2. Résolution de l'existence dans des environnements non concaves : L'article fournit une preuve rigoureuse de l'existence d'un équilibre dans un cadre où la fonction objectif (probabilité de victoire majoritaire) n'est ni concave ni quasi-concave. En établissant la log-concavité via une nouvelle technique de décomposition matricielle impliquant des covariances conditionnelles, les auteurs étendent l'applicabilité des conditions du premier ordre à l'optimalité globale dans des environnements multi-batailles complexes.

3. La convergence des prix proportionnels : La découverte selon laquelle les managers rivaux convergent vers des règles d'allocation relatives identiques, malgré des structures de coûts et des tailles de budgets différents, offre une prédiction théorique forte. Cela suggère que dans les concours d'équipes majoritaires, la distribution relative des ressources est dictée par l'importance structurelle des batailles (pivotité et contestabilité) plutôt que par les capacités absolues des équipes. Cela contraste avec les modèles où les concepteurs pourraient biaiser les allocations pour favoriser les équipes plus faibles ; ici, l'interaction stratégique force une convergence sur les fronts « les plus contestés et les plus pivots ».

Les résultats résonnent avec la littérature d'économie politique sur le ciblage des électeurs indécis (par exemple, Str¨omberg, 2008 ; Dixit et Londregan, 1996) mais diffèrent en introduisant des agents stratégiques (joueurs) sur le champ de bataille, rendant la contestabilité endogène à l'effort plutôt qu'une fonction fixe des préférences des électeurs. Le cadre est applicable aux élections législatives, aux marchés publics de défense et aux sports collectifs, offrant une explication unifiée de la manière dont les organisations priorisent les ressources sur plusieurs fronts concurrentiels.