Dividing the Spoils in Team Contests

Resumen Técnico: Dividir el Botín en Contests de Equipos

Enunciado del Problema
Este artículo investiga la asignación estratégica de un premio colectivo dentro de un equipo que compite en un concurso de múltiples batallas. El escenario involucra a dos equipos rivales (A y B), cada uno gestionado por un tomador de decisiones que debe simultáneamente repartir un presupuesto específico del equipo ($W_i$) entre $2N+1$ batallas pareadas heterogéneas. El equipo que gana la mayoría de las batallas se adjudica el premio colectivo. A diferencia de los modelos estándar de concursos donde las estructuras de premios son exógenas, este estudio endogeniza la división interna del premio. Los gerentes eligen las cuotas de premio ($v_{it}$) para cada batalla $t$ condicionadas a la victoria del equipo para maximizar la probabilidad de ganar la mayoría. El desafío estratégico central es que el esfuerzo de un jugador en una batalla específica no depende solo del esfuerzo directo del oponente, sino también de la "pivotalidad" de esa batalla: la probabilidad de que una victoria en ese frente específico determine la victoria general del equipo. Además, la función objetivo del gerente es altamente no lineal, ya que la probabilidad de ganar la mayoría no es cuasicóncava en el vector de probabilidades de ganar batallas, lo que complica la existencia de un equilibrio.

Metodología
Los autores modelan la interacción como un juego de dos etapas:

1. Etapa 1: Los gerentes anuncian simultáneamente vectores de asignación de premios $v_i = (v_{i1}, \dots, v_{i,2N+1})$ sujetos a restricciones presupuestarias $\sum v_{it} = W_i$.
2. Etapa 2: Los jugadores emparejados en cada batalla ejercen un esfuerzo $e_{it}$ de acuerdo con una función generalizada de éxito en el concurso de Tullock (CSF) con poder discriminatorio $r_t \in (0, 1]$. La probabilidad de ganar la batalla $t$ está determinada por la relación de esfuerzos efectivos.

El análisis procede resolviendo la segunda etapa para derivar probabilidades de victoria en forma reducida, las cuales se demuestra que dependen únicamente de la relación entre premios y costos dentro de esa batalla específica, siempre que ningún equipo haya asegurado ya la mayoría. Luego, la primera etapa se analiza utilizando herramientas de teoría de juegos. Un obstáculo técnico crítico es establecer la existencia de un equilibrio de Nash en estrategias puras. Los autores demuestran que la probabilidad de victoria del equipo es log-cóncava en la estrategia de asignación del gerente. Esta propiedad es no trivial porque la función de agregación de la mayoría no es cuasicóncava. La prueba de la log-concavidad se basa en demostrar que una matriz estructurada específica, derivada de la covarianza condicional de los resultados de las batallas dada la victoria del equipo, es semidefinida positiva. Esto se logra mediante una descomposición coeficiente a coeficiente de una matriz polinómica en bloques que se verifican como semidefinidos positivos.

Resultados Clave
El artículo caracteriza un único equilibrio de Nash subgame-perfecto en estrategias puras con las siguientes propiedades:

1. Propiedad del Premio Proporcional: En equilibrio, ambos gerentes asignan sus presupuestos entre las batallas en proporciones relativas idénticas. Específicamente, la relación de premios asignados a cualquier batalla $t$ por los dos equipos es igual a la relación de sus presupuestos totales:
   $$\frac{v^*_{Bt}}{v^*_{At}} = \frac{W_B}{W_A}$$
   Esto se cumple independientemente de la heterogeneidad en los costos de los jugadores ($c_{it}$) o las tecnologías de batalla ($r_t$). Si los presupuestos son iguales ($W_A = W_B$), las cuotas absolutas de premio son idénticas ($v^*_{At} = v^*_{Bt}$).

2. Asignación Basada en la Saliencia: La cuota común del presupuesto asignada a la batalla $t$ es proporcional a su salencia ($S_t$):
   $$v^*_{it} = W_i \cdot \frac{S_t}{\sum_{\tau} S_\tau}$$
   La saliencia se define como el producto de tres componentes:

   • Poder Discriminatorio ($r_t$): La sensibilidad del resultado de la batalla al esfuerzo.
   • Simetría ($p^*_{At} p^*_{Bt}$): El producto de las probabilidades de victoria en equilibrio, que se maximiza cuando los jugadores están pareados equitativamente.
   • Pivotalidad ($\theta^*(t)$): La probabilidad de que las batallas restantes se dividan equitativamente, haciendo que la batalla $t$ sea decisiva para la mayoría.

   En consecuencia, los recursos fluyen hacia batallas que son simultáneamente disputables (alta simetría y poder discriminatorio) y consecuentes (alta pivotalidad). Las batallas casi predeterminadas o aquellas poco probables de afectar el resultado de la mayoría reciben cuotas mínimas.

3. Robustez ante la Estructura Temporal: La asignación de equilibrio y las probabilidades de victoria son invariantes ante el orden temporal de las batallas (simultáneas, secuenciales o híbridas). Esto se debe a que el incentivo marginal para un jugador es el premio asignado multiplicado por el aumento en la probabilidad de victoria del equipo, un término que es idéntico para ambos jugadores competidores independientemente de cuándo ocurra la batalla.

4. Estáticas Comparativas:

   • Fortalecer un equipo (reduciendo los costos de los miembros o aumentando el premio del equipo) aumenta estrictamente la probabilidad de victoria de ese equipo, incluso cuando las asignaciones se ajustan en todos los frentes.
   • En batallas bien pareadas, la asignación depende únicamente de la tecnología del concurso; las batallas más discriminatorias exigen cuotas mayores.
   • El costo total agregado del esfuerzo se descompone en el presupuesto total, la salencia total y el Índice de Herfindahl-Hirschman (HHI) de las cuotas de salencia. Una mayor concentración de salencia (desigualdad en la importancia de las batallas) aumenta los costos totales del esfuerzo.

Significado y Contribuciones
El artículo realiza tres contribuciones principales a la literatura sobre concursos de equipos y diseño de premios:

1. Endogenización de la Asignación Interna: Mientras que la literatura existente sobre concursos de equipos (por ejemplo, Fu, Lu y Pan, 2015; H¨afner, 2017) típicamente trata el reparto de premios dentro del equipo como exógeno, este artículo resuelve el problema estratégico descentralizado donde los gerentes diseñan simultáneamente divisiones internas. Esta endogenización revela que la "salencia" de una batalla es un resultado de equilibrio, no un primitivo.

2. Resolución de la Existencia en Entornos No Cóncavos: El artículo proporciona una prueba rigurosa de la existencia de equilibrio en un escenario donde la función objetivo (probabilidad de victoria de la mayoría) no es ni cóncava ni cuasicóncava. Al establecer la log-concavidad mediante una técnica novedosa de descomposición matricial que involucra covarianzas condicionales, los autores extienden la aplicabilidad de las condiciones de primer orden a la optimalidad global en entornos complejos de múltiples batallas.

3. La Convergencia del Premio Proporcional: El hallazgo de que los gerentes rivales convergen en reglas de asignación relativa idénticas, a pesar de enfrentar diferentes estructuras de costos y tamaños de presupuesto, ofrece una predicción teórica sólida. Sugiere que en concursos de equipos mayoritarios, la distribución relativa de recursos está impulsada por la importancia estructural de las batallas (pivotalidad y disputabilidad) y no por las capacidades absolutas de los equipos. Esto contrasta con modelos donde los diseñadores podrían sesgar las asignaciones para favorecer a los equipos más débiles; aquí, la interacción estratégica fuerza una convergencia hacia los frentes "más disputados y más pivotaless".

Los resultados resuenan con la literatura de economía política sobre la focalización en votantes indecisos (por ejemplo, Str¨omberg, 2008; Dixit y Londregan, 1996), pero difieren al introducir agentes estratégicos (jugadores) en el campo de batalla, haciendo que la disputabilidad sea endógena al esfuerzo en lugar de una función fija de las preferencias de los votantes. El marco es aplicable a elecciones legislativas, adquisiciones de defensa y deportes de equipo, ofreciendo una explicación unificada de cómo las organizaciones priorizan recursos a través de múltiples frentes competitivos.