Dividing the Spoils in Team Contests

Resumo Técnico: Dividindo o Botim em Competições de Equipe

Declaração do Problema
Este artigo investiga a alocação estratégica de um prêmio coletivo dentro de uma equipe competindo em uma competição de múltiplas batalhas. O cenário envolve duas equipes rivais (A e B), cada uma gerida por um tomador de decisões que deve simultaneamente partitionar um orçamento específico da equipe ($W_i$) entre $2N+1$ batalhas pareadas heterogêneas. A equipe que vence a maioria das batalhas reivindica o prêmio coletivo. Ao contrário dos modelos padrão de competição, onde as estruturas de prêmio são exógenas, este estudo endogeneiza a divisão interna do prêmio. Os gestores escolhem cotas de prêmio ($v_{it}$) para cada batalha $t$, condicionadas à vitória da equipe, para maximizar a probabilidade de vencer a maioria. O desafio estratégico central é que o esforço de um jogador em uma batalha específica depende não apenas do esforço do oponente direto, mas também da "pivotalidade" dessa batalha — quão provável é que uma vitória nessa frente específica determine a vitória geral da equipe. Além disso, a função objetivo do gestor é altamente não linear, pois a probabilidade de vencer a maioria não é quasiconcava no vetor de probabilidades de vitória nas batalhas, complicando a existência de um equilíbrio.

Metodologia
Os autores modelam a interação como um jogo de dois estágios:

1. Estágio 1: Os gestores anunciam simultaneamente vetores de alocação de prêmio $v_i = (v_{i1}, \dots, v_{i,2N+1})$ sujeitos a restrições orçamentárias $\sum v_{it} = W_i$.
2. Estágio 2: Jogadores emparelhados em cada batalha exercem esforço $e_{it}$ de acordo com uma função de sucesso de competição (CSF) de Tullock generalizada com poder discriminatório $r_t \in (0, 1]$. A probabilidade de vencer a batalha $t$ é determinada pela razão dos esforços efetivos.

A análise prossegue resolvendo o segundo estágio para derivar probabilidades de vitória na forma reduzida, as quais mostram-se dependentes apenas da razão entre prêmios e custos dentro daquela batalha específica, desde que nenhuma equipe já tenha assegurado a maioria. O primeiro estágio é então analisado utilizando ferramentas da teoria dos jogos. Um obstáculo técnico crítico é estabelecer a existência de um equilíbrio de Nash em estratégias puras. Os autores demonstram que a probabilidade de vitória da equipe é log-côncava na estratégia de alocação do gestor. Essa propriedade é não trivial porque a função de agregação da maioria não é quasiconcava. A prova da log-concavidade baseia-se em mostrar que uma matriz estruturada específica, derivada da covariância condicional dos resultados das batalhas dada a vitória da equipe, é semidefinida positiva. Isso é alcançado através de uma decomposição coeficiente a coeficiente de uma matriz polinomial em blocos que são verificados como sendo semidefinidos positivos.

Resultados Principais
O artigo caracteriza um único equilíbrio de Nash perfeito em subjogos em estratégias puras com as seguintes propriedades:

1. Propriedade do Prêmio Proporcional: Em equilíbrio, ambos os gestores alocam seus orçamentos entre as batalhas em proporções relativas idênticas. Especificamente, a razão dos prêmios atribuídos a qualquer batalha $t$ pelas duas equipes é igual à razão de seus orçamentos totais:
   $$\frac{v^*_{Bt}}{v^*_{At}} = \frac{W_B}{W_A}$$
   Isso vale independentemente da heterogeneidade nos custos dos jogadores ($c_{it}$) ou nas tecnologias de batalha ($r_t$). Se os orçamentos forem iguais ($W_A = W_B$), as cotas absolutas de prêmio são idênticas ($v^*_{At} = v^*_{Bt}$).

2. Alocação Baseada em Saliência: A cota comum do orçamento atribuída à batalha $t$ é proporcional à sua saliência ($S_t$):
   $$v^*_{it} = W_i \cdot \frac{S_t}{\sum_{\tau} S_\tau}$$
   A saliência é definida como o produto de três componentes:

   • Poder Discriminatório ($r_t$): A sensibilidade do resultado da batalha ao esforço.
   • Simetria ($p^*_{At} p^*_{Bt}$): O produto das probabilidades de vitória em equilíbrio, que é maximizado quando os jogadores estão igualmente equilibrados.
   • Pivotalidade ($\theta^*(t)$): A probabilidade de que as batalhas restantes se dividam igualmente, tornando a batalha $t$ decisiva para a maioria.

   Consequentemente, os recursos fluem para batalhas que são simultaneamente contestáveis (alta simetria e poder discriminatório) e consequentes (alta pivotalidade). Batalhas quase predeterminadas ou aquelas pouco prováveis de afetar o resultado da maioria recebem cotas mínimas.

3. Robustez à Estrutura Temporal: A alocação de equilíbrio e as probabilidades de vitória são invariantes à ordem temporal das batalhas (simultâneas, sequenciais ou híbridas). Isso ocorre porque o incentivo marginal para um jogador é o prêmio atribuído multiplicado pelo aumento na probabilidade de vitória da equipe, um termo que é idêntico para ambos os jogadores competidores, independentemente de quando a batalha ocorre.

4. Estática Comparativa:

   • Fortalecer uma equipe (reduzindo custos dos membros ou aumentando o prêmio da equipe) aumenta estritamente a probabilidade de vitória dessa equipe, mesmo à medida que as alocações se ajustam em todas as frentes.
   • Em batalhas bem equilibradas, a alocação depende exclusivamente da tecnologia da competição; batalhas mais discriminatórias comandam cotas maiores.
   • O custo total agregado de esforço é decomposto no orçamento total, na saliência total e no Índice de Herfindahl-Hirschman (HHI) das cotas de saliência. Maior concentração de saliência (desigualdade na importância das batalhas) aumenta os custos totais de esforço.

Significado e Contribuições
O artigo faz três contribuições primárias para a literatura sobre competições de equipe e design de prêmios:

1. Endogeneização da Alocação Interna: Enquanto a literatura existente sobre competições de equipe (por exemplo, Fu, Lu e Pan, 2015; H¨afner, 2017) tipicamente trata o compartilhamento de prêmios dentro da equipe como exógeno, este artigo resolve o problema estratégico descentralizado onde os gestores desenham simultaneamente divisões internas. Essa endogeneização revela que a "saliência" de uma batalha é um resultado de equilíbrio, não um primitivo.

2. Resolução da Existência em Ambientes Não Côncavos: O artigo fornece uma prova rigorosa da existência de equilíbrio em um cenário onde a função objetivo (probabilidade de vitória da maioria) não é nem côncava nem quasiconcava. Ao estabelecer a log-concavidade através de uma técnica novel de decomposição matricial envolvendo covariâncias condicionais, os autores expandem a aplicabilidade das condições de primeira ordem para otimalidade global em ambientes complexos de múltiplas batalhas.

3. A Convergência do Prêmio Proporcional: A descoberta de que gestores rivais convergem para regras de alocação relativas idênticas, apesar de enfrentarem estruturas de custos e tamanhos de orçamento diferentes, oferece uma forte previsão teórica. Isso sugere que, em competições de equipe majoritárias, a distribuição relativa de recursos é impulsionada pela importância estrutural das batalhas (pivotalidade e contestabilidade) e não pelas capacidades absolutas das equipes. Isso contrasta com modelos onde designers podem enviesar alocações para favorecer equipes mais fracas; aqui, a interação estratégica força uma convergência nas frentes "mais contestadas e mais pivô".

Os resultados ressoam com a literatura de economia política sobre o direcionamento a eleitores indecisos (por exemplo, Str¨omberg, 2008; Dixit e Londregan, 1996), mas diferem ao introduzir agentes estratégicos (jogadores) no campo de batalha, tornando a contestabilidade endógena ao esforço em vez de uma função fixa das preferências dos eleitores. O quadro é aplicável a eleições legislativas, aquisições de defesa e esportes coletivos, oferecendo uma explicação unificada para como organizações priorizam recursos em múltiplas frentes competitivas.