Dividing the Spoils in Team Contests

Technische Zusammenfassung: Die Aufteilung der Beute in Teamwettbewerben

Problemstellung
Dieser Beitrag untersucht die strategische Zuteilung eines kollektiven Preises innerhalb eines Teams, das an einem Mehrkampf-Wettbewerb teilnimmt. Das Szenario umfasst zwei rivalisierende Teams (A und B), die jeweils von einem Entscheidungsträger geleitet werden, der gleichzeitig ein team-spezifisches Budget ($W_i$) auf $2N+1$ heterogene Paarungskämpfe aufteilen muss. Das Team, das die Mehrheit der Kämpfe gewinnt, erhält den kollektiven Preis. Im Gegensatz zu Standard-Wettbewerbsmodellen, bei denen die Preisstrukturen exogen sind, endogenisiert diese Studie die interne Preisverteilung. Manager wählen Anteile am Preis ($v_{it}$) für jeden Kampf $t$ unter der Bedingung des Teamgewinns, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, die Mehrheit zu erringen. Die zentrale strategische Herausforderung besteht darin, dass der Einsatz eines Spielers in einem spezifischen Kampf nicht nur vom direkten Einsatz des Gegners abhängt, sondern auch von der „Pivotalität" dieses Kampfes – also davon, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Sieg in dieser spezifischen Front den gesamten Teamgewinn entscheidet. Darüber hinaus ist die Zielfunktion des Managers hochgradig nichtlinear, da die Wahrscheinlichkeit, eine Mehrheit zu gewinnen, im Vektor der Wahrscheinlichkeiten für den Kampfgewinn nicht quasikonkav ist, was die Existenz eines Gleichgewichts erschwert.

Methodik
Die Autoren modellieren die Interaktion als Zwei-Phasen-Spiel:

1. Phase 1: Manager geben gleichzeitig Vektoren zur Preisverteilung $v_i = (v_{i1}, \dots, v_{i,2N+1})$ bekannt, die den Budgetbeschränkungen $\sum v_{it} = W_i$ unterliegen.
2. Phase 2: Die in jedem Kampf gepaarten Spieler setzen einen Einsatz $e_{it}$ gemäß einer verallgemeinerten Tullock-Erfolgsfunktion (CSF) mit Diskriminierungsstärke $r_t \in (0, 1]$ ein. Die Wahrscheinlichkeit, Kampf $t$ zu gewinnen, wird durch das Verhältnis der effektiven Einsätze bestimmt.

Die Analyse erfolgt durch Lösung der zweiten Phase, um reduzierte Gewinnwahrscheinlichkeiten abzuleiten, die sich zeigen lassen, dass sie nur vom Verhältnis der Preise und Kosten innerhalb dieses spezifischen Kampfes abhängen, sofern kein Team bereits eine Mehrheit gesichert hat. Die erste Phase wird anschließend mit spieltheoretischen Werkzeugen analysiert. Eine kritische technische Hürde besteht darin, die Existenz eines Nash-Gleichgewichts in reinen Strategien nachzuweisen. Die Autoren zeigen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit des Teams in der Allokationsstrategie des Managers log-konkav ist. Diese Eigenschaft ist nicht-trivial, da die Aggregationsfunktion für die Mehrheit nicht quasikonkav ist. Der Beweis der Log-Konkavität stützt sich darauf, dass eine spezifische strukturierte Matrix, die aus der bedingten Kovarianz der Kampfergebnisse unter der Bedingung des Teamgewinns abgeleitet wird, positiv semidefinit ist. Dies wird durch eine koeffizientenweise Zerlegung einer Polynommatrix in Blöcke erreicht, die als positiv semidefinit nachgewiesen werden.

Hauptergebnisse
Der Beitrag charakterisiert ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien mit subgame-perfekten Eigenschaften mit folgenden Merkmalen:

1. Proportional-Preis-Eigenschaft: Im Gleichgewicht weisen beide Manager ihre Budgets über die Kämpfe hinweg in identischen relativen Proportionen zu. Spezifisch entspricht das Verhältnis der Preise, die von beiden Teams einem Kampf $t$ zugewiesen werden, dem Verhältnis ihrer Gesamtbudgets:
   $$\frac{v^*_{Bt}}{v^*_{At}} = \frac{W_B}{W_A}$$
   Dies gilt unabhängig von Heterogenitäten in den Spielerkosten ($c_{it}$) oder den Kampftechnologien ($r_t$). Wenn die Budgets gleich sind ($W_A = W_B$), sind die absoluten Preisanteile identisch ($v^*_{At} = v^*_{Bt}$).

2. Salienz-basierte Allokation: Der gemeinsame Anteil des Budgets, der Kampf $t$ zugewiesen wird, ist proportional zu dessen Salienz ($S_t$):
   $$v^*_{it} = W_i \cdot \frac{S_t}{\sum_{\tau} S_\tau}$$
   Die Salienz ist definiert als das Produkt aus drei Komponenten:

   • Diskriminierungsstärke ($r_t$): Die Sensitivität des Kampfergebnisses gegenüber dem Einsatz.
   • Symmetrie ($p^*_{At} p^*_{Bt}$): Das Produkt der Gleichgewichts-Wahrscheinlichkeiten für den Kampfgewinn, das maximiert wird, wenn die Spieler gleich stark sind.
   • Pivotalität ($\theta^*(t)$): Die Wahrscheinlichkeit, dass die verbleibenden Kämpfe gleichmäßig ausfallen, wodurch Kampf $t$ für die Mehrheit entscheidend wird.

   Folglich fließen Ressourcen in Kämpfe, die gleichzeitig umkämpft (hohe Symmetrie und Diskriminierungsstärke) und folgenreich (hohe Pivotalität) sind. Fast vorbestimmte Kämpfe oder solche, die die Mehrheitsentscheidung unwahrscheinlich beeinflussen, erhalten minimale Anteile.

3. Robustheit gegenüber der zeitlichen Struktur: Die Gleichgewichts-Allokation und die Gewinnwahrscheinlichkeiten sind invariant gegenüber der zeitlichen Abfolge der Kämpfe (simultan, sequentiell oder hybrid). Dies liegt daran, dass der marginale Anreiz für einen Spieler der zugewiesene Preis multipliziert mit der Steigerung der Teamgewinnwahrscheinlichkeit ist, ein Term, der für beide konkurrierenden Spieler identisch ist, unabhängig davon, wann der Kampf stattfindet.

4. Vergleichende Statik:

   • Die Stärkung eines Teams (Senkung der Mitgliederkosten oder Erhöhung des Teampreises) erhöht strikt die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Teams, selbst wenn sich die Allokationen über alle Fronten hinweg anpassen.
   • In gut ausbalancierten Kämpfen hängt die Allokation ausschließlich von der Wettbewerbstechnologie ab; diskriminierendere Kämpfe beanspruchen größere Anteile.
   • Die gesamten aggregierten Einsatzkosten werden in das Gesamtbudget, die Gesamtsalienz und den Herfindahl-Hirschman-Index (HHI) der Salienzanteile zerlegt. Eine höhere Konzentration der Salienz (Ungleichheit in der Bedeutung der Kämpfe) erhöht die gesamten Einsatzkosten.

Bedeutung und Beiträge
Der Beitrag leistet drei wesentliche Beiträge zur Literatur über Teamwettbewerbe und Preisgestaltung:

1. Endogenisierung der internen Allokation: Während die bestehende Literatur zu Teamwettbewerben (z. B. Fu, Lu und Pan, 2015; H¨afner, 2017) die Preisverteilung innerhalb des Teams typischerweise als exogen behandelt, löst dieser Beitrag das dezentrale strategische Problem, bei dem Manager gleichzeitig interne Aufteilungen entwerfen. Diese Endogenisierung zeigt, dass die „Salienz" eines Kampfes ein Gleichgewichtsergebnis und kein primitives Element ist.

2. Lösung der Existenzfrage in nicht-konkaven Umgebungen: Der Beitrag liefert einen rigorosen Beweis für die Existenz eines Gleichgewichts in einem Setting, bei dem die Zielfunktion (Wahrscheinlichkeit des Mehrheitsgewinns) weder konkav noch quasikonkav ist. Durch die Etablierung der Log-Konkavität mittels einer neuartigen Matrixzerlegungstechnik, die bedingte Kovarianzen einbezieht, erweitern die Autoren die Anwendbarkeit der ersten Ordnung auf globale Optimalität in komplexen Mehrkampf-Umgebungen.

3. Die Konvergenz der proportionalen Preise: Die Erkenntnis, dass rivalisierende Manager trotz unterschiedlicher Kostenstrukturen und Budgetgrößen auf identische relative Allokationsregeln konvergieren, bietet eine starke theoretische Vorhersage. Dies deutet darauf hin, dass in Mehrheits-Teamwettbewerben die relative Verteilung der Ressourcen durch die strukturelle Bedeutung der Kämpfe (Pivotalität und Umkämpftheit) getrieben wird und nicht durch die absoluten Fähigkeiten der Teams. Dies steht im Gegensatz zu Modellen, bei denen Designer Allokationen möglicherweise zugunsten schwächerer Teams verzerren könnten; hier zwingt die strategische Interaktion eine Konvergenz auf die „am stärksten umkämpften und wichtigsten" Fronten.

Die Ergebnisse resonieren mit der Literatur zur politischen Ökonomie über die Zielsetzung von Swing-Wählern (z. B. Str¨omberg, 2008; Dixit und Londregan, 1996), unterscheiden sich jedoch durch die Einführung strategischer Akteure (Spieler) auf dem Schlachtfeld, wodurch die Umkämpftheit endogen zum Einsatz wird und nicht eine feste Funktion der Präferenzen der Wähler ist. Der Rahmen ist auf legislative Wahlen, Verteidigungseinkäufe und Mannschaftssportarten anwendbar und bietet eine einheitliche Erklärung dafür, wie Organisationen Ressourcen über mehrere konkurrierende Fronten priorisieren.