Dividing the Spoils in Team Contests

Technische Samenvatting: Het Verdelen van de Buit in Teamwedstrijden

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de strategische toewijzing van een collectieve prijs binnen een team dat deelneemt aan een meerdelige wedstrijd. De setting omvat twee rivaliserende teams (A en B), elk beheerd door een beslissingnemer die gelijktijdig een team-specifiek budget ($W_i$) moet verdelen over $2N+1$ heterogene, paarsgewijze gevechten. Het team dat een meerderheid van de gevechten wint, claimt de collectieve prijs. In tegenstelling tot standaard concurrentiemodellen waar prijsstructuren exogeen zijn, endogeniseert deze studie de interne prijsverdeling. Managers kiezen prijsaandelen ($v_{it}$) voor elk gevecht $t$, onder voorwaarde van teamoverwinning, om de kans op het winnen van de meerderheid te maximaliseren. De kern van het strategische probleem is dat de inspanning van een speler in een specifiek gevecht niet alleen afhangt van de inspanning van de directe tegenstander, maar ook van de "pivotaliteit" van dat gevecht — hoe waarschijnlijk het is dat een overwinning op dat specifieke front de algehele teamoverwinning bepaalt. Bovendien is de doelstelling van de manager sterk niet-lineair, aangezien de kans op het winnen van een meerderheid niet quasiconcaaf is in de vector van gevechts-overwinningkansen, wat de existentie van een evenwicht bemoeilijkt.

Methodologie
De auteurs modelleren de interactie als een tweestaps spel:

1. Stap 1: Managers kondigen gelijktijdig prijsallocatievectoren $v_i = (v_{i1}, \dots, v_{i,2N+1})$ aan, onderworpen aan budgetbeperkingen $\sum v_{it} = W_i$.
2. Stap 2: Gekoppelde spelers in elk gevecht zetten inspanning $e_{it}$ neer volgens een gegeneraliseerde Tullock-concurrentiesuccesfunctie (CSF) met discriminatiekracht $r_t \in (0, 1]$. De kans op het winnen van gevecht $t$ wordt bepaald door de verhouding van effectieve inspanningen.

De analyse verloopt door het oplossen van de tweede stap om gereduceerde vorm overwinningkansen af te leiden, waarvan wordt aangetoond dat deze alleen afhangen van de verhouding van prijzen en kosten binnen dat specifieke gevecht, mits geen enkel team al een meerderheid heeft veiliggesteld. De eerste stap wordt vervolgens geanalyseerd met behulp van speltheoretische instrumenten. Een kritieke technische hindernis is het vaststellen van de existentie van een Nash-evenwicht in pure strategieën. De auteurs tonen aan dat de overwinningkans van het team log-concaaf is in de allocatiestrategie van de manager. Deze eigenschap is niet triviaal, aangezien de aggregatiefunctie voor de meerderheid niet quasiconcaaf is. Het bewijs van log-concaafiteit berust op het aantonen dat een specifieke gestructureerde matrix, afgeleid van de conditionele covariantie van gevechtsuitkomsten gegeven teamoverwinning, positief semidefiniet is. Dit wordt bereikt door een coëfficiëntgewijze decompositie van een polynoommatrix in blokken die worden geverifieerd als positief semidefiniet.

Belangrijkste Resultaten
Het artikel karakteriseert een uniek subgame-perfect Nash-evenwicht in pure strategieën met de volgende eigenschappen:

1. Proportionele-Prijs Eigenschap: In evenwicht verdelen beide managers hun budgetten over de gevechten in identieke relatieve verhoudingen. Specifiek is de verhouding van prijzen toegewezen aan elk gevecht $t$ door de twee teams gelijk aan de verhouding van hun totale budgetten:
   $$\frac{v^*_{Bt}}{v^*_{At}} = \frac{W_B}{W_A}$$
   Dit geldt ongeacht heterogeniteit in spelerskosten ($c_{it}$) of gevechtstechnologieën ($r_t$). Als de budgetten gelijk zijn ($W_A = W_B$), zijn de absolute prijsaandelen identiek ($v^*_{At} = v^*_{Bt}$).

2. Op Relevantie Gebaseerde Allocatie: Het gemeenschappelijke aandeel van het budget toegewezen aan gevecht $t$ is evenredig met zijn relevantie ($S_t$):
   $$v^*_{it} = W_i \cdot \frac{S_t}{\sum_{\tau} S_\tau}$$
   Relevantie wordt gedefinieerd als het product van drie componenten:

   • Discriminatiekracht ($r_t$): De gevoeligheid van de gevechtsuitkomst voor inspanning.
   • Symmetrie ($p^*_{At} p^*_{Bt}$): Het product van de evenwichts-overwinningkansen, dat gemaximaliseerd wordt wanneer spelers gelijkwaardig zijn.
   • Pivotaliteit ($\theta^*(t)$): De kans dat de resterende gevechten gelijkmatig worden verdeeld, waardoor gevecht $t$ beslissend wordt voor de meerderheid.

   Bijgevolg stromen middelen naar gevechten die tegelijkertijd betwistbaar zijn (hoge symmetrie en discriminatiekracht) en consequent (hoge pivotaliteit). Bijna-vaststaande gevechten of die die onwaarschijnlijk de meerderheidsuitkomst beïnvloeden, ontvangen minimale aandelen.

3. Robuustheid ten opzichte van Temporele Structuur: De evenwichtsallocatie en overwinningkansen zijn invariant ten opzichte van de temporele volgorde van de gevechten (gelijktijdig, sequentieel of hybride). Dit komt omdat de marginale prikkel voor een speler de toegewezen prijs vermenigvuldigd met de toename in team-overwinningkans is, een term die identiek is voor beide concurrerende spelers ongeacht wanneer het gevecht plaatsvindt.

4. Comparatieve Statistiek:

   • Het versterken van een team (verlagen van ledenkosten of verhogen van de teamprijs) verhoogt strikt de overwinningkans van dat team, zelfs terwijl allocaties zich aanpassen over alle fronten.
   • In goed gematchte gevechten hangt de allocatie uitsluitend af van de concurrentietechnologie; meer discriminerende gevechten eisen grotere aandelen.
   • De totale aggregatieve inspanningskosten worden ontleed in het totale budget, totale relevantie en de Herfindahl-Hirschman Index (HHI) van relevantie-aandelen. Een hogere concentratie van relevantie (ongelijkheid in gevechtsgewicht) verhoogt de totale inspanningskosten.

Betekenis en Bijdragen
Het artikel levert drie primaire bijdragen aan de literatuur over teamwedstrijden en prijsontwerp:

1. Endogenisatie van Interne Allocatie: Waar bestaande literatuur over teamwedstrijden (bijv. Fu, Lu, en Pan, 2015; H¨afner, 2017) doorgaans de prijsverdeling binnen teams als exogeen behandelt, lost dit artikel het gedecentraliseerde strategische probleem op waarbij managers gelijktijdig interne splitsingen ontwerpen. Deze endogenisatie onthult dat de "relevantie" van een gevecht een evenwichtsuitkomst is, en geen primitief.

2. Oplossing van Existentie in Niet-Concave Omgevingen: Het artikel biedt een rigoureus bewijs van evenwichtsexistentie in een setting waar de doelstelling (meerderheids-overwinningkans) noch concaaf noch quasiconcaaf is. Door log-concaafiteit vast te stellen via een nieuwe matrix-decompositietechniek die conditionele covarianties omvat, breiden de auteurs de toepasbaarheid van eerste-orde voorwaarden uit naar globale optimaliteit in complexe meerdelige omgevingen.

3. De Convergentie van Proportionele Prijzen: De bevinding dat rivaliserende managers convergeren naar identieke relatieve allocatieregels, ondanks het hebben van verschillende kostenstructuren en budgetgroottes, biedt een sterke theoretische voorspelling. Het suggereert dat in meerderheidsteamwedstrijden de relatieve verdeling van middelen wordt gedreven door de structurele belangrijkheid van de gevechten (pivotaliteit en betwistbaarheid) en niet door de absolute capaciteiten van de teams. Dit staat in contrast met modellen waarbij ontwerpers allocaties kunnen bevooroordeelen om zwakkere teams te bevoordelen; hier dwingt de strategische interactie een convergentie af op de "meest betwiste en meest pivotal" fronten.

De resultaten resoneren met de literatuur over politieke economie gericht op het targeten van swing-kiezers (bijv. Str¨omberg, 2008; Dixit en Londregan, 1996), maar verschillen door strategische agenten (spelers) op het slagveld in te brengen, waardoor betwistbaarheid endogeen wordt aan inspanning in plaats van een vaste functie van kiezersvoorkeuren. Het kader is toepasbaar op wetgevende verkiezingen, defensie-aanschaf en teamsporten, en biedt een verenigde verklaring voor hoe organisaties middelen prioriteren over meerdere concurrentiële fronten.