Iwasawa invariants of Bertolini--Darmon Theta Elements

Sintesi Tecnica: Invarianti di Iwasawa degli Elementi Theta di Bertolini–Darmon

Enunciato del Problema
Questo articolo indaga gli invarianti di Iwasawa ($\mu$ e $\lambda$) degli elementi theta di Bertolini–Darmon associati a forme modulari di peso due $f \in S_2(\Gamma_0(N))$ all'interno dell'estensione anticyclotomica $\mathbb{Z}_p$ di un campo quadratico immaginario $K$. Lo studio affronta due scenari distinti di riduzione in un primo $p \geq 5$: il caso ordinario e il caso non ordinario.

Il lavoro mira ad estendere risultati noti dal contesto ciclotomico (in particolare quelli di Pollack–Weston e Leonard–Lei) al contesto anticyclotomico. Nel contesto ciclotomico, è noto che gli invarianti di Iwasawa degli elementi di Mazur-Tate sono correlati agli invarianti delle funzioni $L$ $p$-adiche. Questo articolo si propone di stabilire relazioni analoghe per gli elementi theta di Bertolini–Darmon ($L_{f,n}$) e le corrispondenti funzioni $L$ $p$-adiche anticyclotomiche ($L_p(f, K_\infty)$ o $L_p(f, K)^\ast$).

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione della teoria di Iwasawa algebrica e dell'aritmetica delle forme modulari su algebre di quaternioni definite.

1. Impostazione e Definizioni:

   • Gli autori fissano un campo quadratico immaginario $K$ e un primo $p$ non ramificato in $K$. Il livello $N$ è decomposto in $N = N^+ N^-$, dove i primi che dividono $N^+$ si spezzano in $K$ e i primi che dividono $N^-$ sono inerti. Si assume che $N^-$ sia privo di fattori quadrati e prodotto di un numero dispari di primi.
   • Gli elementi theta di Bertolini–Darmon $L_{f,n} \in \mathcal{O}[Gal(K_n/K)]$ sono definiti tramite la corrispondenza di Jacquet–Langlands, identificando la forma modulare $f$ con una funzione sull'albero di Bruhat–Tits associato a un'algebra di quaternioni definita di discriminante $N^-$.
   • Questi elementi soddisfano una relazione di ricorrenza a tre termini che coinvolge il valore proprio di Hecke $a_p(f)$ e le applicazioni di norma.

2. Caso Ordinario:

   • Quando $f$ è ordinaria in $p$, gli autori utilizzano elementi theta $p$-stabilizzati ($L_{f\alpha, n}$) per definire la funzione $L$ $p$-adica anticyclotomica $L_p(f/K_\infty)$ come limite proiettivo.
   • Analizzano la relazione tra gli invarianti degli elementi di livello finito $L_{f,n}$ e la funzione $L$ di livello infinito utilizzando le proprietà dell'algebra di Iwasawa $\Lambda \cong \mathcal{O}[[T]]$ e lemmi specifici riguardanti il comportamento di $\mu$ e $\lambda$ sotto le applicazioni di proiezione e norma.

3. Caso Non Ordinario:

   • In questo contesto, gli autori assumono che $p$ si spezzi in $K$. Costruiscono matrici logaritmiche di tipo "Sprung" ($M_{f,n}$) per relazionare gli elementi theta alle funzioni $L$ $p$-adiche intere $\sharp/\flat$ ($L_p^\sharp(f, K_\infty)$ e $L_p^\flat(f, K_\infty)$).
   • Un passo tecnico chiave consiste nell'analizzare la congruenza degli elementi theta modulo $\omega_n$ (dove $\omega_n = (1+T)^{p^n}-1$) in termini delle funzioni $L$ $\sharp/\flat$. Ciò permette agli autori di esprimere $L_{f,n}$ come prodotto di un fattore polinomiale ciclotomico ($\omega_n^\pm$) e degli elementi della funzione $L$.
   • Gli autori distinguono i casi in base al fatto che $a_p(f) = 0$ o $a_p(f) \not\equiv 0 \pmod{\varpi}$, sfruttando il fatto che $a_p(f) \equiv 0 \pmod{\varpi}$ nel contesto non ordinario per semplificare le relazioni matriciali.

Contributi e Risultati Chiave

• Caso Ordinario (Teorema A / Teorema 4.1):
  Gli autori dimostrano un analogo del risultato di Pollack–Weston per il contesto anticyclotomico. Assumendo che $f$ abbia riduzione ordinaria buona e $\mu(L_p(f/K_\infty)) = 0$, stabiliscono che per $n$ sufficientemente grande:

  1. $\mu(L_{f,n}) = 0$.
  2. $2\lambda(L_{f,n}) = \lambda(L_p(f/K_\infty))$.
     Ciò conferma che l'invariante $\lambda$ dell'elemento theta è esattamente la metà di quello della funzione $L$ $p$-adica, mentre l'invariante $\mu$ si annulla se l'invariante $\mu$ della funzione $L$ si annulla.

• Caso Non Ordinario (Teorema B / Teorema 5.10):
  Gli autori estendono i risultati di Leonard–Lei al contesto anticyclotomico. Assumendo che $p$ si spezzi in $K$ e $\mu(L_p^\sharp) = \mu(L_p^\flat) \neq \infty$, relazionano gli invarianti di $L_{f,n}$ a quelli delle funzioni $L$ $\sharp/\flat$ ($L_p(f, K)^\ast$).
  Per $n$ sufficientemente grande (dove la parità di $n$ determina se il ramo $\sharp$ o $\flat$ è attivo):

  1. $\mu(L_p(f, K)^\ast) = 2\mu(L_{f,n})$.
  2. $\lambda(L_p(f, K)^\ast) = 2\lambda(L_{f,n}) = 2\lambda(L^\ast_f) + 2q_n$.
     Qui, $q_n$ è un polinomio specifico in $p$ che dipende dalla parità di $n$ (ad esempio, $p^{n-1} - p^{n-2} + \dots - 1$ per $n$ pari).

Significato e Affermazioni
L'articolo afferma di generalizzare con successo i risultati ciclotomici noti di Pollack–Weston e Leonard–Lei all'estensione anticyclotomica di un campo quadratico immaginario. Stabilendo formule precise che collegano gli invarianti di Iwasawa degli elementi theta di Bertolini–Darmon di livello finito agli invarianti delle corrispondenti funzioni $L$ $p$-adiche, il lavoro fornisce una comprensione più profonda delle proprietà aritmetiche di questi elementi nel caso non ordinario.

Gli autori notano che la strategia di prova si basa sull'espressione degli elementi theta in termini di funzioni $L$ $\sharp/\flat$ utilizzando matrici di tipo Sprung, permettendo così il trasferimento delle proprietà invarianti dalle funzioni $L$ agli elementi theta.

Direzioni Future
Gli autori dichiarano esplicitamente che l'analogia del Teorema B per il caso in cui $p$ è inerte in $K$ è un lavoro in corso e non è trattato in questo articolo.