Iwasawa invariants of Bertolini--Darmon Theta Elements

Technische Samenvatting: Iwasawa-invarianten van Bertolini–Darmon-theta-elementen

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de Iwasawa-invarianten ($\mu$ en $\lambda$) van Bertolini–Darmon-theta-elementen die zijn gekoppeld aan modulaire vormen van gewicht twee $f \in S_2(\Gamma_0(N))$, binnen de anticyclotomische $\mathbb{Z}_p$-uitbreiding van een imaginair kwadratisch lichaam $K$. De studie behandelt twee verschillende reductiescenario's bij een priemgetal $p \geq 5$: het ordinair geval en het niet-ordinair geval.

Het werk beoogt bekende resultaten uit de cyclotomische context (specifiek die van Pollack–Weston en Leonard–Lei) uit te breiden naar de anticyclotomische context. In de cyclotomische context staat vast dat de Iwasawa-invarianten van Mazur-Tate-elementen gerelateerd zijn aan de invarianten van $p$-adische $L$-functies. Dit artikel streeft er naar analoge relaties vast te stellen voor Bertolini–Darmon-theta-elementen ($L_{f,n}$) en de bijbehorende anticyclotomische $p$-adische $L$-functies ($L_p(f, K_\infty)$ of $L_p(f, K)^\ast$).

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een combinatie van algebraïsche Iwasawa-theorie en de rekenkunde van modulaire vormen op definitieve kwaternionalen-algebra's.

1. Opzet en Definities:

   • De auteurs kiezen een imaginair kwadratisch lichaam $K$ en een priemgetal $p$ dat ongeramd is in $K$. Het niveau $N$ wordt ontbonden in $N = N^+ N^-$, waarbij priemgetallen die $N^+$ delen splitsen in $K$ en priemgetallen die $N^-$ delen inert zijn. $N^-$ wordt verondersteld vrij van kwadratische factoren te zijn en een product van een oneven aantal priemgetallen.
   • Bertolini–Darmon-theta-elementen $L_{f,n} \in \mathcal{O}[Gal(K_n/K)]$ worden gedefinieerd via de Jacquet–Langlands-correspondentie, waarbij de modulaire vorm $f$ wordt geïdentificeerd met een functie op de Bruhat–Tits-boom die geassocieerd is met een definitieve kwaternionalen-algebra van discriminant $N^-$.
   • Deze elementen voldoen aan een drietermige recurrente betrekking die de Hecke-eigenwaarde $a_p(f)$ en normafbeeldingen omvat.

2. Ordinair Geval:

   • Wanneer $f$ ordinair is bij $p$, gebruiken de auteurs $p$-gestabiliseerde theta-elementen ($L_{f\alpha, n}$) om de anticyclotomische $p$-adische $L$-functie $L_p(f/K_\infty)$ te definiëren als een projectieve limiet.
   • Zij analyseren de relatie tussen de invarianten van de elementen op eindig niveau $L_{f,n}$ en de $L$-functie op oneindig niveau, gebruikmakend van eigenschappen van de Iwasawa-algebra $\Lambda \cong \mathcal{O}[[T]]$ en specifieke lemma's betreffende het gedrag van $\mu$ en $\lambda$ onder projectie en normafbeeldingen.

3. Niet-Ordinair Geval:

   • In deze setting veronderstellen de auteurs dat $p$ splitst in $K$. Zij construeren "Sprung-type" logaritmische matrices ($M_{f,n}$) om de theta-elementen te relateren aan de integraal $\sharp/\flat$ $p$-adische $L$-functies ($L_p^\sharp(f, K_\infty)$ en $L_p^\flat(f, K_\infty)$).
   • Een belangrijke technische stap bestaat uit het analyseren van de congruentie van de theta-elementen modulo $\omega_n$ (waarbij $\omega_n = (1+T)^{p^n}-1$) in termen van de $\sharp/\flat$ $L$-functies. Dit stelt de auteurs in staat $L_{f,n}$ uit te drukken als een product van een cyclotomisch polynoomfactor ($\omega_n^\pm$) en de elementen van de $L$-functie.
   • De auteurs onderscheiden gevallen op basis van of $a_p(f) = 0$ of $a_p(f) \not\equiv 0 \pmod{\varpi}$, gebruikmakend van het feit dat $a_p(f) \equiv 0 \pmod{\varpi}$ in het niet-ordinair geval, om matrixrelaties te vereenvoudigen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Ordinair Geval (Stelling A / Stelling 4.1):
  De auteurs bewijzen een analogon van het resultaat van Pollack–Weston voor de anticyclotomische setting. Onder de aanname dat $f$ goede ordinair reductie heeft en $\mu(L_p(f/K_\infty)) = 0$, stellen zij vast dat voor voldoende grote $n$:

  1. $\mu(L_{f,n}) = 0$.
  2. $2\lambda(L_{f,n}) = \lambda(L_p(f/K_\infty))$.
     Dit bevestigt dat de $\lambda$-invariant van het theta-element precies de helft is van die van de $p$-adische $L$-functie, terwijl de $\mu$-invariant verdwijnt als de $\mu$-invariant van de $L$-functie verdwijnt.

• Niet-Ordinair Geval (Stelling B / Stelling 5.10):
  De auteurs breiden de resultaten van Leonard–Lei uit naar de anticyclotomische setting. Onder de aanname dat $p$ splitst in $K$ en $\mu(L_p^\sharp) = \mu(L_p^\flat) \neq \infty$, relateren zij de invarianten van $L_{f,n}$ aan die van de $\sharp/\flat$ $L$-functies ($L_p(f, K)^\ast$).
  Voor voldoende grote $n$ (waarbij de pariteit van $n$ bepaalt of de $\sharp$- of $\flat$-tak actief is):

  1. $\mu(L_p(f, K)^\ast) = 2\mu(L_{f,n})$.
  2. $\lambda(L_p(f, K)^\ast) = 2\lambda(L_{f,n}) = 2\lambda(L^\ast_f) + 2q_n$.
     Hierbij is $q_n$ een specifiek polynoom in $p$ dat afhankelijk is van de pariteit van $n$ (bijvoorbeeld $p^{n-1} - p^{n-2} + \dots - 1$ voor even $n$).

Betekenis en Aanspraken
Het artikel claimt succesvol de bekende cyclotomische resultaten van Pollack–Weston en Leonard–Lei te generaliseren naar de anticyclotomische uitbreiding van een imaginair kwadratisch lichaam. Door precieze formules vast te stellen die de Iwasawa-invarianten van Bertolini–Darmon-theta-elementen op eindig niveau koppelen aan de invarianten van de bijbehorende $p$-adische $L$-functies, biedt het werk een dieper inzicht in de rekenkundige eigenschappen van deze elementen in het niet-ordinair geval.

De auteurs merken op dat de bewijsstrategie berust op het uitdrukken van de theta-elementen in termen van $\sharp/\flat$ $L$-functies met behulp van Sprung-type matrices, waardoor de overdracht van invariantie-eigenschappen van de $L$-functies naar de theta-elementen mogelijk wordt.

Toekomstige Richtingen
De auteurs stellen expliciet dat het analogon van Stelling B voor het geval waarin $p$ inert is in $K$ een werk in uitvoering is en niet wordt behandeld in dit artikel.