Iwasawa invariants of Bertolini--Darmon Theta Elements

Resumen Técnico: Invariantes de Iwasawa de Elementos Theta de Bertolini–Darmon

Enunciado del Problema
Este artículo investiga los invariantes de Iwasawa ($\mu$ y $\lambda$) de los elementos theta de Bertolini–Darmon asociados a formas modulares de peso dos $f \in S_2(\Gamma_0(N))$ dentro de la extensión $\mathbb{Z}_p$ anticyclotómica de un cuerpo cuadrático imaginario $K$. El estudio aborda dos escenarios distintos de reducción en un primo $p \geq 5$: el caso ordinario y el caso no ordinario.

El trabajo tiene como objetivo extender resultados conocidos del contexto ciclotómico (específicamente los de Pollack–Weston y Leonard–Lei) al contexto anticyclotómico. En el contexto ciclotómico, se sabe que los invariantes de Iwasawa de los elementos de Mazur-Tate se relacionan con los invariantes de las funciones $L$ $p$-ádicas. Este artículo busca establecer relaciones análogas para los elementos theta de Bertolini–Darmon ($L_{f,n}$) y las funciones $L$ $p$-ádicas anticyclotómicas asociadas ($L_p(f, K_\infty)$ o $L_p(f, K)^\ast$).

Metodología
Los autores emplean una combinación de la teoría de Iwasawa algebraica y la aritmética de formas modulares sobre álgebras de cuaterniones definidas.

1. Configuración y Definiciones:

   • Los autores fijan un cuerpo cuadrático imaginario $K$ y un primo $p$ no ramificado en $K$. El nivel $N$ se descompone en $N = N^+ N^-$, donde los primos que dividen a $N^+$ se descomponen en $K$ y los primos que dividen a $N^-$ son inerciales. Se asume que $N^-$ es libre de cuadrados y un producto de un número impar de primos.
   • Los elementos theta de Bertolini–Darmon $L_{f,n} \in \mathcal{O}[Gal(K_n/K)]$ se definen mediante la correspondencia de Jacquet–Langlands, identificando la forma modular $f$ con una función en el árbol de Bruhat–Tits asociado a un álgebra de cuaterniones definida de discriminante $N^-$.
   • Estos elementos satisfacen una relación de recurrencia de tres términos que involucra el valor propio de Hecke $a_p(f)$ y las aplicaciones de norma.

2. Caso Ordinario:

   • Cuando $f$ es ordinaria en $p$, los autores utilizan elementos theta $p$-estabilizados ($L_{f\alpha, n}$) para definir la función $L$ $p$-ádica anticyclotómica $L_p(f/K_\infty)$ como un límite proyectivo.
   • Analizan la relación entre los invariantes de los elementos de nivel finito $L_{f,n}$ y la función $L$ de nivel infinito utilizando propiedades del álgebra de Iwasawa $\Lambda \cong \mathcal{O}[[T]]$ y lemas específicos sobre el comportamiento de $\mu$ y $\lambda$ bajo proyección y aplicaciones de norma.

3. Caso No Ordinario:

   • En este escenario, los autores asumen que $p$ se descompone en $K$. Construyen matrices logarítmicas de tipo "Sprung" ($M_{f,n}$) para relacionar los elementos theta con las funciones $L$ $p$-ádicas integrales $\sharp/\flat$ ($L_p^\sharp(f, K_\infty)$ y $L_p^\flat(f, K_\infty)$).
   • Un paso técnico clave implica analizar la congruencia de los elementos theta módulo $\omega_n$ (donde $\omega_n = (1+T)^{p^n}-1$) en términos de las funciones $L$ $\sharp/\flat$. Esto permite a los autores expresar $L_{f,n}$ como un producto de un factor polinómico ciclotómico ($\omega_n^\pm$) y los elementos de la función $L$.
   • Los autores distinguen casos basándose en si $a_p(f) = 0$ o $a_p(f) \not\equiv 0 \pmod{\varpi}$, utilizando el hecho de que $a_p(f) \equiv 0 \pmod{\varpi}$ en el contexto no ordinario para simplificar las relaciones matriciales.

Contribuciones y Resultados Clave

• Caso Ordinario (Teorema A / Teorema 4.1):
  Los autores prueban un análogo del resultado de Pollack–Weston para el contexto anticyclotómico. Asumiendo que $f$ tiene buena reducción ordinaria y $\mu(L_p(f/K_\infty)) = 0$, establecen que para $n$ suficientemente grande:

  1. $\mu(L_{f,n}) = 0$.
  2. $2\lambda(L_{f,n}) = \lambda(L_p(f/K_\infty))$.
     Esto confirma que el invariante $\lambda$ del elemento theta es exactamente la mitad que el de la función $L$ $p$-ádica, mientras que el invariante $\mu$ se anula si el invariante $\mu$ de la función $L$ se anula.

• Caso No Ordinario (Teorema B / Teorema 5.10):
  Los autores extienden los resultados de Leonard–Lei al contexto anticyclotómico. Asumiendo que $p$ se descompone en $K$ y $\mu(L_p^\sharp) = \mu(L_p^\flat) \neq \infty$, relacionan los invariantes de $L_{f,n}$ con los de las funciones $L$ $\sharp/\flat$ ($L_p(f, K)^\ast$).
  Para $n$ suficientemente grande (donde la paridad de $n$ determina si la rama $\sharp$ o $\flat$ está activa):

  1. $\mu(L_p(f, K)^\ast) = 2\mu(L_{f,n})$.
  2. $\lambda(L_p(f, K)^\ast) = 2\lambda(L_{f,n}) = 2\lambda(L^\ast_f) + 2q_n$.
     Aquí, $q_n$ es un polinomio específico en $p$ que depende de la paridad de $n$ (por ejemplo, $p^{n-1} - p^{n-2} + \dots - 1$ para $n$ par).

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma generalizar con éxito los resultados ciclotómicos conocidos de Pollack–Weston y Leonard–Lei a la extensión anticyclotómica de un cuerpo cuadrático imaginario. Al establecer fórmulas precisas que vinculan los invariantes de Iwasawa de los elementos theta de Bertolini–Darmon de nivel finito con los invariantes de las funciones $L$ $p$-ádicas correspondientes, el trabajo proporciona una comprensión más profunda de las propiedades aritméticas de estos elementos en el caso no ordinario.

Los autores señalan que la estrategia de prueba se basa en expresar los elementos theta en términos de funciones $L$ $\sharp/\flat$ utilizando matrices de tipo Sprung, permitiendo así la transferencia de propiedades invariantes desde las funciones $L$ hacia los elementos theta.

Direcciones Futuras
Los autores declaran explícitamente que el análogo del Teorema B para el caso donde $p$ es inercial en $K$ es un trabajo en progreso y no se cubre en este artículo.