Iwasawa invariants of Bertolini--Darmon Theta Elements

技术摘要：Bertolini–Darmon Theta 元素的 Iwasawa 不变量

问题陈述
本文研究了附着于权为 2 的模形式 $f \in S_2(\Gamma_0(N))$ 的 Bertolini–Darmon theta 元素在虚二次域 $K$ 的反循环 $\mathbb{Z}_p$-扩张中的 Iwasawa 不变量（$\mu$ 和 $\lambda$）。该研究探讨了素数 $p \geq 5$ 处的两种不同约化情形：普通情形与非普通情形。

本研究旨在将已知于循环情形（特别是 Pollack–Weston 和 Leonard–Lei 的结果）的结论推广至反循环情形。在循环背景下，Mazur–Tate 元素的 Iwasawa 不变量已知与 $p$-adic $L$-函数的不变量相关。本文试图为 Bertolini–Darmon theta 元素（$L_{f,n}$）及其相关的反循环 $p$-adic $L$-函数（$L_p(f, K_\infty)$ 或 $L_p(f, K)^\ast$）建立类似的对应关系。

方法论
作者结合了代数 Iwasawa 理论与定四元数代数上模形式的算术。

1. 设定与定义：

   • 作者固定一个虚二次域 $K$ 和一个在 $K$ 中非分歧的素数 $p$。将水平 $N$ 分解为 $N = N^+ N^-$，其中整除 $N^+$ 的素数在 $K$ 中分裂，而整除 $N^-$ 的素数在 $K$ 中惯性。假设 $N^-$ 是无平方因子数，且为奇数个素数的乘积。
   • Bertolini–Darmon theta 元素 $L_{f,n} \in \mathcal{O}[Gal(K_n/K)]$ 通过 Jacquet–Langlands 对应定义，将模形式 $f$ 识别为与判别式为 $N^-$ 的定四元数代数相关的 Bruhat–Tits 树上的函数。
   • 这些元素满足一个涉及 Hecke 特征值 $a_p(f)$ 和范数映射的三项递推关系。

2. 普通情形：

   • 当 $f$ 在 $p$ 处为普通时，作者利用 $p$-稳定化 theta 元素（$L_{f\alpha, n}$）将反循环 $p$-adic $L$-函数 $L_p(f/K_\infty)$ 定义为射影极限。
   • 他们利用 Iwasawa 代数 $\Lambda \cong \mathcal{O}[[T]]$ 的性质以及关于 $\mu$ 和 $\lambda$ 在投影和范数映射下行为的特定引理，分析了有限层级元素 $L_{f,n}$ 的不变量与无限层级 $L$-函数不变量之间的关系。

3. 非普通情形：

   • 在此设定下，作者假设 $p$ 在 $K$ 中分裂。他们构造了"Sprung 型”对数矩阵（$M_{f,n}$），将 theta 元素与积分 $\sharp/\flat$ $p$-adic $L$-函数（$L_p^\sharp(f, K_\infty)$ 和 $L_p^\flat(f, K_\infty)$）联系起来。
   • 一个关键的技术步骤是分析 theta 元素模 $\omega_n$（其中 $\omega_n = (1+T)^{p^n}-1$）关于 $\sharp/\flat$ $L$-函数的同余性。这使得作者能够将 $L_{f,n}$ 表示为分圆多项式因子（$\omega_n^\pm$）与 $L$-函数元素的乘积。
   • 作者根据 $a_p(f) = 0$ 或 $a_p(f) \not\equiv 0 \pmod{\varpi}$ 区分情形，利用非普通情形下 $a_p(f) \equiv 0 \pmod{\varpi}$ 的事实来简化矩阵关系。

主要贡献与结果

• 普通情形（定理 A / 定理 4.1）：
  作者证明了 Pollack–Weston 结果在反循环情形下的类比。假设 $f$ 具有好的普通约化且 $\mu(L_p(f/K_\infty)) = 0$，他们证明了对于充分大的 $n$：

  1. $\mu(L_{f,n}) = 0$。
  2. $2\lambda(L_{f,n}) = \lambda(L_p(f/K_\infty))$。
     这确认了 theta 元素的 $\lambda$-不变量恰好是 $p$-adic $L$-函数 $\lambda$-不变量的一半，而如果 $L$-函数的 $\mu$-不变量为零，则 $\mu$-不变量亦为零。

• 非普通情形（定理 B / 定理 5.10）：
  作者将 Leonard–Lei 的结果推广至反循环情形。假设 $p$ 在 $K$ 中分裂且 $\mu(L_p^\sharp) = \mu(L_p^\flat) \neq \infty$，他们将 $L_{f,n}$ 的不变量与 $\sharp/\flat$ $L$-函数（$L_p(f, K)^\ast$）的不变量联系起来。
  对于充分大的 $n$（其中 $n$ 的奇偶性决定了 $\sharp$ 分支还是 $\flat$ 分支生效）：

  1. $\mu(L_p(f, K)^\ast) = 2\mu(L_{f,n})$。
  2. $\lambda(L_p(f, K)^\ast) = 2\lambda(L_{f,n}) = 2\lambda(L^\ast_f) + 2q_n$。
     此处，$q_n$ 是一个依赖于 $n$ 奇偶性的关于 $p$ 的特定多项式（例如，对于偶数 $n$，为 $p^{n-1} - p^{n-2} + \dots - 1$）。

意义与主张
本文声称成功地将 Pollack–Weston 和 Leonard–Lei 已知的循环结果推广到了虚二次域的反循环扩张。通过建立连接有限层级 Bertolini–Darmon theta 元素的 Iwasawa 不变量与相应 $p$-adic $L$-函数不变量的精确公式，这项工作加深了对非普通情形下这些元素算术性质的理解。

作者指出，证明策略依赖于利用 Sprung 型矩阵将 theta 元素表示为 $\sharp/\flat$ $L$-函数，从而使得不变量性质能够从 $L$-函数转移到 theta 元素。

未来方向
作者明确指出，定理 B 在 $p$ 在 $K$ 中惯性情形下的类比正在研究中，并未包含在本篇文章中。