Iwasawa invariants of Bertolini--Darmon Theta Elements

Résumé technique : Invariants d'Iwasawa des éléments thêta de Bertolini–Darmon

Énoncé du problème
Cet article étudie les invariants d'Iwasawa ($\mu$ et $\lambda$) des éléments thêta de Bertolini–Darmon attachés à des formes modulaires de poids deux $f \in S_2(\Gamma_0(N))$ dans la $\mathbb{Z}_p$-extension anticyclotomique d'un corps quadratique imaginaire $K$. L'étude aborde deux scénarios distincts de réduction en un nombre premier $p \geq 5$ : le cas ordinaire et le cas non ordinaire.

Le travail vise à étendre des résultats connus du cadre cyclotomique (spécifiquement ceux de Pollack–Weston et Leonard–Lei) au cadre anticyclotomique. Dans le contexte cyclotomique, il est établi que les invariants d'Iwasawa des éléments de Mazur-Tate sont liés aux invariants des fonctions $L$ $p$-adiques. Cet article cherche à établir des relations analogues pour les éléments thêta de Bertolini–Darmon ($L_{f,n}$) et les fonctions $L$ $p$-adiques anticyclotomiques associées ($L_p(f, K_\infty)$ ou $L_p(f, K)^\ast$).

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de la théorie d'Iwasawa algébrique et de l'arithmétique des formes modulaires sur les algèbres de quaternions définies.

1. Mise en place et définitions :

   • Les auteurs fixent un corps quadratique imaginaire $K$ et un nombre premier $p$ non ramifié dans $K$. Le niveau $N$ est décomposé en $N = N^+ N^-$, où les nombres premiers divisant $N^+$ se scindent dans $K$ et les nombres premiers divisant $N^-$ sont inertiels. $N^-$ est supposé sans facteur carré et produit d'un nombre impair de nombres premiers.
   • Les éléments thêta de Bertolini–Darmon $L_{f,n} \in \mathcal{O}[Gal(K_n/K)]$ sont définis via la correspondance de Jacquet–Langlands, identifiant la forme modulaire $f$ à une fonction sur l'arbre de Bruhat–Tits associé à une algèbre de quaternions définie de discriminant $N^-$.
   • Ces éléments satisfont une relation de récurrence à trois termes impliquant la valeur propre de Hecke $a_p(f)$ et les applications de norme.

2. Cas ordinaire :

   • Lorsque $f$ est ordinaire en $p$, les auteurs utilisent des éléments thêta $p$-stabilisés ($L_{f\alpha, n}$) pour définir la fonction $L$ $p$-adique anticyclotomique $L_p(f/K_\infty)$ comme une limite projective.
   • Ils analysent la relation entre les invariants des éléments de niveau fini $L_{f,n}$ et la fonction $L$ de niveau infini en utilisant les propriétés de l'algèbre d'Iwasawa $\Lambda \cong \mathcal{O}[[T]]$ et des lemmes spécifiques concernant le comportement de $\mu$ et $\lambda$ sous les applications de projection et de norme.

3. Cas non ordinaire :

   • Dans ce cadre, les auteurs supposent que $p$ se scinde dans $K$. Ils construisent des matrices logarithmiques de type « Sprung » ($M_{f,n}$) pour relier les éléments thêta aux fonctions $L$ $p$-adiques intégrales $\sharp/\flat$ ($L_p^\sharp(f, K_\infty)$ et $L_p^\flat(f, K_\infty)$).
   • Une étape technique clé consiste à analyser la congruence des éléments thêta modulo $\omega_n$ (où $\omega_n = (1+T)^{p^n}-1$) en termes des fonctions $L$ $\sharp/\flat$. Cela permet aux auteurs d'exprimer $L_{f,n}$ comme un produit d'un facteur polynôme cyclotomique ($\omega_n^\pm$) et des éléments de la fonction $L$.
   • Les auteurs distinguent des cas selon que $a_p(f) = 0$ ou $a_p(f) \not\equiv 0 \pmod{\varpi}$, en utilisant le fait que $a_p(f) \equiv 0 \pmod{\varpi}$ dans le cadre non ordinaire pour simplifier les relations matricielles.

Contributions et résultats clés

• Cas ordinaire (Théorème A / Théorème 4.1) :
  Les auteurs prouvent un analogue du résultat de Pollack–Weston pour le cadre anticyclotomique. En supposant que $f$ a une réduction ordinaire bonne et que $\mu(L_p(f/K_\infty)) = 0$, ils établissent que pour $n$ suffisamment grand :

  1. $\mu(L_{f,n}) = 0$.
  2. $2\lambda(L_{f,n}) = \lambda(L_p(f/K_\infty))$.
     Cela confirme que l'invariant $\lambda$ de l'élément thêta est exactement la moitié de celui de la fonction $L$ $p$-adique, tandis que l'invariant $\mu$ s'annule si l'invariant $\mu$ de la fonction $L$ s'annule.

• Cas non ordinaire (Théorème B / Théorème 5.10) :
  Les auteurs étendent les résultats de Leonard–Lei au cadre anticyclotomique. En supposant que $p$ se scinde dans $K$ et que $\mu(L_p^\sharp) = \mu(L_p^\flat) \neq \infty$, ils relient les invariants de $L_{f,n}$ à ceux des fonctions $L$ $\sharp/\flat$ ($L_p(f, K)^\ast$).
  Pour $n$ suffisamment grand (où la parité de $n$ détermine si la branche $\sharp$ ou $\flat$ est active) :

  1. $\mu(L_p(f, K)^\ast) = 2\mu(L_{f,n})$.
  2. $\lambda(L_p(f, K)^\ast) = 2\lambda(L_{f,n}) = 2\lambda(L^\ast_f) + 2q_n$.
     Ici, $q_n$ est un polynôme spécifique en $p$ dépendant de la parité de $n$ (par exemple, $p^{n-1} - p^{n-2} + \dots - 1$ pour $n$ pair).

Signification et affirmations
L'article affirme généraliser avec succès les résultats cyclotomiques connus de Pollack–Weston et Leonard–Lei à l'extension anticyclotomique d'un corps quadratique imaginaire. En établissant des formules précises reliant les invariants d'Iwasawa des éléments thêta de Bertolini–Darmon de niveau fini aux invariants des fonctions $L$ $p$-adiques correspondantes, ce travail offre une compréhension plus profonde des propriétés arithmétiques de ces éléments dans le cas non ordinaire.

Les auteurs notent que la stratégie de preuve repose sur l'expression des éléments thêta en termes de fonctions $L$ $\sharp/\flat$ à l'aide de matrices de type Sprung, permettant ainsi le transfert des propriétés invariantes des fonctions $L$ vers les éléments thêta.

Perspectives futures
Les auteurs déclarent explicitement que l'analogue du Théorème B pour le cas où $p$ est inerte dans $K$ est un travail en cours et n'est pas couvert dans cet article.