Iwasawa invariants of Bertolini--Darmon Theta Elements

Resumo Técnico: Invariantes de Iwasawa de Elementos Theta de Bertolini–Darmon

Enunciado do Problema
Este artigo investiga os invariantes de Iwasawa ($\mu$ e $\lambda$) de elementos theta de Bertolini–Darmon associados a formas modulares de peso dois $f \in S_2(\Gamma_0(N))$ no interior da extensão $\mathbb{Z}_p$ anticyclotômica de um corpo quadrático imaginário $K$. O estudo aborda dois cenários distintos de redução em um primo $p \geq 5$: o caso ordinário e o caso não ordinário.

O trabalho visa estender resultados conhecidos do contexto ciclotômico (especificamente os de Pollack–Weston e Leonard–Lei) para o contexto anticyclotômico. No contexto ciclotômico, sabe-se que os invariantes de Iwasawa de elementos de Mazur-Tate relacionam-se com os invariantes de funções $L$ $p$-ádicas. Este artigo busca estabelecer relações análogas para os elementos theta de Bertolini–Darmon ($L_{f,n}$) e as funções $L$ $p$-ádicas anticyclotômicas associadas ($L_p(f, K_\infty)$ ou $L_p(f, K)^\ast$).

Metodologia
Os autores empregam uma combinação da teoria de Iwasawa algébrica e da aritmética de formas modulares sobre álgebras de quaterniões definidas.

1. Configuração e Definições:

   • Os autores fixam um corpo quadrático imaginário $K$ e um primo $p$ não ramificado em $K$. O nível $N$ é decomposto em $N = N^+ N^-$, onde os primos que dividem $N^+$ se dividem em $K$ e os primos que dividem $N^-$ são inertes. Assume-se que $N^-$ é livre de quadrados e um produto de um número ímpar de primos.
   • Os elementos theta de Bertolini–Darmon $L_{f,n} \in \mathcal{O}[Gal(K_n/K)]$ são definidos via a correspondência de Jacquet–Langlands, identificando a forma modular $f$ com uma função na árvore de Bruhat–Tits associada a uma álgebra de quaterniões definida de discriminante $N^-$.
   • Estes elementos satisfazem uma relação de recorrência de três termos envolvendo o autovalor de Hecke $a_p(f)$ e mapas de norma.

2. Caso Ordinário:

   • Quando $f$ é ordinária em $p$, os autores utilizam elementos theta $p$-estabilizados ($L_{f\alpha, n}$) para definir a função $L$ $p$-ádica anticyclotômica $L_p(f/K_\infty)$ como um limite projetivo.
   • Eles analisam a relação entre os invariantes dos elementos de nível finito $L_{f,n}$ e a função $L$ de nível infinito, utilizando propriedades da álgebra de Iwasawa $\Lambda \cong \mathcal{O}[[T]]$ e lemas específicos sobre o comportamento de $\mu$ e $\lambda$ sob projeção e mapas de norma.

3. Caso Não Ordinário:

   • Neste cenário, os autores assumem que $p$ se divide em $K$. Eles constroem matrizes logarítmicas do tipo "Sprung" ($M_{f,n}$) para relacionar os elementos theta às funções $L$ $p$-ádicas integrais $\sharp/\flat$ ($L_p^\sharp(f, K_\infty)$ e $L_p^\flat(f, K_\infty)$).
   • Uma etapa técnica chave envolve analisar a congruência dos elementos theta módulo $\omega_n$ (onde $\omega_n = (1+T)^{p^n}-1$) em termos das funções $L$ $\sharp/\flat$. Isso permite aos autores expressar $L_{f,n}$ como um produto de um fator polinomial ciclotômico ($\omega_n^\pm$) e os elementos da função $L$.
   • Os autores distinguem casos com base em se $a_p(f) = 0$ ou $a_p(f) \not\equiv 0 \pmod{\varpi}$, utilizando o fato de que $a_p(f) \equiv 0 \pmod{\varpi}$ no cenário não ordinário para simplificar as relações matriciais.

Contribuições e Resultados Principais

• Caso Ordinário (Teorema A / Teorema 4.1):
  Os autores provam um análogo do resultado de Pollack–Weston para o cenário anticyclotômico. Assumindo que $f$ tem redução ordinária boa e $\mu(L_p(f/K_\infty)) = 0$, eles estabelecem que, para $n$ suficientemente grande:

  1. $\mu(L_{f,n}) = 0$.
  2. $2\lambda(L_{f,n}) = \lambda(L_p(f/K_\infty))$.
     Isso confirma que o invariante $\lambda$ do elemento theta é exatamente a metade do da função $L$ $p$-ádica, enquanto o invariante $\mu$ se anula se o invariante $\mu$ da função $L$ se anular.

• Caso Não Ordinário (Teorema B / Teorema 5.10):
  Os autores estendem os resultados de Leonard–Lei para o cenário anticyclotômico. Assumindo que $p$ se divide em $K$ e $\mu(L_p^\sharp) = \mu(L_p^\flat) \neq \infty$, eles relacionam os invariantes de $L_{f,n}$ aos das funções $L$ $\sharp/\flat$ ($L_p(f, K)^\ast$).
  Para $n$ suficientemente grande (onde a paridade de $n$ determina se o ramo $\sharp$ ou $\flat$ está ativo):

  1. $\mu(L_p(f, K)^\ast) = 2\mu(L_{f,n})$.
  2. $\lambda(L_p(f, K)^\ast) = 2\lambda(L_{f,n}) = 2\lambda(L^\ast_f) + 2q_n$.
     Aqui, $q_n$ é um polinômio específico em $p$ dependendo da paridade de $n$ (por exemplo, $p^{n-1} - p^{n-2} + \dots - 1$ para $n$ par).

Significado e Alegações
O artigo alega generalizar com sucesso os resultados ciclotômicos conhecidos de Pollack–Weston e Leonard–Lei para a extensão anticyclotômica de um corpo quadrático imaginário. Ao estabelecer fórmulas precisas que ligam os invariantes de Iwasawa de elementos theta de Bertolini–Darmon de nível finito aos invariantes das funções $L$ $p$-ádicas correspondentes, o trabalho fornece uma compreensão mais profunda das propriedades aritméticas desses elementos no caso não ordinário.

Os autores observam que a estratégia de prova depende de expressar os elementos theta em termos de funções $L$ $\sharp/\flat$ usando matrizes do tipo Sprung, permitindo assim a transferência de propriedades invariantes das funções $L$ para os elementos theta.

Direções Futuras
Os autores afirmam explicitamente que o análogo do Teorema B para o caso em que $p$ é inerte em $K$ é um trabalho em andamento e não é coberto neste artigo.