A note on a conjecture of Ng

Sintesi Tecnica di "A Note on a Conjecture of Ng"

Enunciato del Problema
Questa nota affronta la Domanda 5, Problema 1 della Lista di Problemi di Teoria Comparata dei Numeri Primi, originariamente suggerita da Nathan Ng. Il problema centrale riguarda il comportamento asintotico del secondo momento di un rapporto specifico di funzioni zeta sommato sui non triviali zeri della funzione zeta di Riemann, $\zeta(s)$.

La Congettura 1 di Ng postula che, assumendo l'Ipotesi di Riemann (RH) e la semplicità dei non triviali zeri $\rho = 1/2 + i\gamma$, la seguente relazione asintotica valga per $T \to \infty$:
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \sim \frac{T}{2\pi}.$$
L'autore osserva che, sebbene l'originale affermazione di Ng assumesse implicitamente la RH, egli ha indicato in comunicazioni private che la congettura probabilmente vale assumendo solo la semplicità degli zeri. Il presente lavoro procede sotto entrambe le assunzioni per garantire che i sommandi siano ben definiti e per utilizzare specifiche simmetrie nella dimostrazione.

Metodologia
La strategia di prova segue l'approccio di Milinovich e Ng, il quale si basa a sua volta sul lavoro di Rudnick e Soundararajan. La tecnica centrale consiste nell'uso di un mollificatore per limitare la somma dal basso.

1. Costruzione del Mollificatore: L'autore definisce un polinomio di Dirichlet smussato, $L^\dagger_\xi(s)$, che approssima la funzione $\zeta(2s)/\zeta(s)$. Tale approssimazione è generata dalla funzione di Liouville $\lambda(n)$, la quale soddisfa $\sum \lambda(n)n^{-s} = \zeta(2s)/\zeta(s)$. Il polinomio è definito come:
   $$L^\dagger_\xi(s) = \sum_{n \le \xi} \frac{\lambda(n)}{n^s} P\left(\frac{\log(\xi/n)}{\log \xi}\right),$$
   dove $\xi = T^\vartheta$ per un valore fissato $0 < \vartheta < 1$, e $P(x)$ è un polinomio con $P(0)=0$ e $P(1)=1$.

2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: Sotto l'assunzione della RH, la simmetria $L^\dagger_\xi(s) = L^\dagger_\xi(1-s)$ vale per i non triviali zeri. Ciò consente l'applicazione della disuguaglianza di Cauchy per stabilire un limite inferiore:
   $$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \frac{|M_1|^2}{M_2},$$
   dove $M_1 = \sum_{0<\gamma \le T} \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} L^\dagger_\xi(1-\rho)$ e $M_2 = \sum_{0<\gamma \le T} |L^\dagger_\xi(\rho)|^2$.

3. Integrazione Convallata: Per valutare le asintotiche di $M_1$ e $M_2$, l'autore impiega il teorema degli integrali di residui di Cauchy. Le somme vengono convertite in integrali di contorno che coinvolgono $\zeta(2s)/\zeta(s)$ e $\zeta'(s)/\zeta(s)$ rispettivamente. I contorni sono percorsi rettangolari traslati sulla retta critica, e gli integrali sono suddivisi in segmenti verticali e orizzontali.

   • Teoremi di Valore Medio: La valutazione dei termini principali si basa sul teorema del valore medio di Montgomery-Vaughan per i polinomi di Dirichlet per gestire gli integrali oscillatori.
   • Equazioni Funzionali: Per i contorni verticali di sinistra, viene utilizzata l'equazione funzionale della funzione zeta. Una distinzione tecnica chiave rispetto al lavoro precedente (Milinovich-Ng) è la gestione del fattore $\zeta(2s)$ al numeratore, che cancella il decadimento di $1/\zeta(s)$, richiedendo un'analisi dell'oscillazione del rapporto $\chi(2s)/\chi(s)$ tramite il test della derivata seconda di van der Corput.

Contributi Chiave e Risultati
Il documento stabilisce le seguenti stime asintotiche per i momenti $M_1$ e $M_2$ (Proposizioni 5 e 6):

• $M_1 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T) \vartheta \int_0^1 P(x) dx$.
• $M_2 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T)^2 \left[ \vartheta \int_0^1 P(x)^2 dx + \vartheta^2 \left(\int_0^1 P(x) dx\right)^2 \right]$.
  Sostituendo queste stime nella disuguaglianza del limite inferiore e ottimizzando la scelta del polinomio $P(x)$, l'autore deriva il teorema principale:

Teorema 2: Assumendo l'Ipotesi di Riemann e che i non triviali zeri di $\zeta(s)$ siano semplici, per ogni $\epsilon > 0$ fissato:
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \left( \frac{1}{4\pi} - \epsilon \right) T$$
per $T$ sufficientemente grande.

L'ottimizzazione è ottenuta scegliendo il polinomio costante $P(x) = 1$ e prendendo il limite per $\vartheta \to 1^-$.

Significato e Rivendicazioni
Il documento rivendica un limite inferiore rigoroso per la somma in questione. Il significato del risultato risiede nella sua relazione quantitativa con la congettura di Ng:

• Il limite inferiore provato è $\frac{1}{4\pi}T$.
• L'asintotica congetturata è $\frac{1}{2\pi}T$.
• Di conseguenza, il risultato stabilisce un limite inferiore che è esattamente la metà del valore congetturato.

L'autore traccia un parallelo con il lavoro di Milinovich e Ng sulla congettura di Gonek (riguardante $\sum |\zeta'(\rho)|^{-2}$), dove esiste una discrepanza simile di un fattore due tra il limite inferiore provato e l'asintotica congetturata. Il documento non pretende di provare la congettura completa, ma fornisce un limite inferiore non banale che conferma l'ordine di grandezza corretto ($O(T)$) evidenziando al contempo la difficoltà nel colmare il divario rispetto alla costante congetturata.