A note on a conjecture of Ng

Résumé Technique de « A Note on a Conjecture of Ng »

Énoncé du Problème
Cette note traite de la Question 5, Problème 1 de la liste de problèmes de la théorie comparative des nombres premiers, suggérée initialement par Nathan Ng. Le problème central concerne le comportement asymptotique du second moment d'un rapport spécifique de fonctions zeta, sommé sur les zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann, $\zeta(s)$.

La Conjecture 1 de Ng pose que, sous l'hypothèse de l'hypothèse de Riemann (RH) et de la simplicité des zéros non triviaux $\rho = 1/2 + i\gamma$, l'asymptotique suivante est vérifiée lorsque $T \to \infty$ :
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \sim \frac{T}{2\pi}.$$
L'auteur note que si l'énoncé original de Ng supposait implicitement RH, il a indiqué en communication privée que la conjecture devrait probablement être vraie en supposant seulement la simplicité des zéros. Le présent travail procède sous ces deux hypothèses afin de garantir que les termes de la somme sont bien définés et pour utiliser des symétries spécifiques dans la preuve.

Méthodologie
La stratégie de preuve suit l'approche de Milinovich et Ng, laquelle est elle-même basée sur les travaux de Rudnick et Soundararajan. La technique centrale consiste à utiliser un mollificateur pour borner la somme par le bas.

1. Construction du Mollificateur : L'auteur définit un polynôme de Dirichlet lissé, $L^\dagger_\xi(s)$, approximant la fonction $\zeta(2s)/\zeta(s)$. Cette approximation est générée par la fonction de Liouville $\lambda(n)$, qui satisfait $\sum \lambda(n)n^{-s} = \zeta(2s)/\zeta(s)$. Le polynôme est défini comme suit :
   $$L^\dagger_\xi(s) = \sum_{n \le \xi} \frac{\lambda(n)}{n^s} P\left(\frac{\log(\xi/n)}{\log \xi}\right),$$
   où $\xi = T^\vartheta$ pour un $\vartheta$ fixé tel que $0 < \vartheta < 1$, et $P(x)$ est un polynôme avec $P(0)=0$ et $P(1)=1$.

2. Inégalité de Cauchy-Schwarz : Sous l'hypothèse de RH, la symétrie $L^\dagger_\xi(\rho) = L^\dagger_\xi(1-\rho)$ est vérifiée pour les zéros non triviaux. Cela permet l'application de l'inégalité de Cauchy pour établir une borne inférieure :
   $$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \frac{|M_1|^2}{M_2},$$
   où $M_1 = \sum_{0<\gamma \le T} \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} L^\dagger_\xi(1-\rho)$ et $M_2 = \sum_{0<\gamma \le T} |L^\dagger_\xi(\rho)|^2$.

3. Intégration sur un Contour : Pour évaluer les asymptotiques de $M_1$ et $M_2$, l'auteur emploie le théorème du résidu de Cauchy. Les sommes sont converties en intégrales de contour impliquant $\zeta(2s)/\zeta(s)$ et $\zeta'(s)/\zeta(s)$ respectivement. Les contours sont des chemins rectangulaires décalés vers la ligne critique, et les intégrales sont divisées en segments verticaux et horizontaux.

   • Théorèmes de Moyenne : L'évaluation des termes principaux repose sur le théorème de la moyenne de Montgomery-Vaughan pour les polynômes de Dirichlet afin de traiter les intégrales oscillatoires.
   • Équations Fonctionnelles : Pour les contours verticaux gauches, l'équation fonctionnelle de la fonction zeta est utilisée. Une distinction technique clé par rapport aux travaux précédents (Milinovich-Ng) est le traitement du facteur $\zeta(2s)$ au numérateur, qui annule la décroissance de $1/\zeta(s)$, nécessitant une analyse de l'oscillation du rapport $\chi(2s)/\chi(s)$ via le test du second dérivée de van der Corput.

Contributions Clés et Résultats
Le papier établit les estimations asymptotiques suivantes pour les moments $M_1$ et $M_2$ (Propositions 5 et 6) :

• $M_1 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T) \vartheta \int_0^1 P(x) dx$.
• $M_2 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T)^2 \left[ \vartheta \int_0^1 P(x)^2 dx + \vartheta^2 \left(\int_0^1 P(x) dx\right)^2 \right]$.

En substituant ces estimations dans l'inégalité de la borne inférieure et en optimisant le choix du polynôme $P(x)$, l'auteur dérive le théorème principal :

Théorème 2 : En supposant l'Hypothèse de Riemann et que les zéros non triviaux de $\zeta(s)$ sont simples, pour tout $\epsilon > 0$ fixé :
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \left( \frac{1}{4\pi} - \epsilon \right) T$$
pour $T$ suffisamment grand.

L'optimisation est réalisée en choisissant le polynôme constant $P(x) = 1$ et en prenant la limite quand $\vartheta \to 1^-$.

Signification et Revendications
Le papier revendique une borne inférieure rigoureuse pour la somme en question. La signification du résultat réside dans sa relation quantitative avec la conjecture de Ng :

• La borne inférieure prouvée est $\frac{1}{4\pi}T$.
• L'asymptotique conjecturée est $\frac{1}{2\pi}T$.
• Par conséquent, le résultat établit une borne inférieure qui est exactement la moitié de la valeur conjecturée.

L'auteur établit un parallèle avec les travaux de Milinovich et Ng sur la conjecture de Gonek (concernant $\sum |\zeta'(\rho)|^{-2}$), où un écart similaire de facteur deux existe entre la borne inférieure prouvée et l'asymptotique conjecturée. Le papier ne prétend pas prouver la conjecture complète mais fournit une borne inférieure non triviale qui confirme l'ordre de grandeur correct ($O(T)$) tout en soulignant la difficulté de combler l'écart pour atteindre la constante conjecturée.