A note on a conjecture of Ng

Ng의 추측에 관한 노트 기술 요약

문제 정의
본 노트는 Nathan Ng가 제안한 비교 소수 정리 문제 목록(Comparative Prime Number Theory Problem List)의 Question 5, Problem 1을 다룬다. 핵심 문제는 리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 비자명한 영점들에 대한 특정 제타 함수 비율의 이계 모멘트(second moment)의 점근적 거동에 관한 것이다.

Ng의 추측 1은 리만 가설(RH)과 비자명한 영점 $\rho = 1/2 + i\gamma$의 단순성(simplicity)을 가정할 때, $T \to \infty$로서 다음의 점근식이 성립한다고 상정한다:
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \sim \frac{T}{2\pi}.$$
저자는 Ng의 원래 진술이 RH를 암묵적으로 가정하고 있으나, Ng가 개인적인 통신을 통해 해당 추측이 영점의 단순성만을 가정해도 성립할 가능성이 높다고 언급했음을 밝힌다. 본 연구는 항들이 잘 정의되도록 하고 증명에서의 특정 대칭성을 활용하기 위해 두 가지 가정을 모두 전제로 진행된다.

방법론
증명 전략은 Milinovich와 Ng의 접근 방식을 따르며, 이는 다시 Rudnick와 Soundararajan의 연구에 기반한다. 핵심 기법은 합의 하한을 구하기 위해 몰리파이어(mollifier)를 사용하는 것이다.

1. 몰리파이어 구성: 저자는 함수 $\zeta(2s)/\zeta(s)$를 근사하는 매끄러운 디리클레 다항식 $L^\dagger_\xi(s)$를 정의한다. 이 근사식은 $\sum \lambda(n)n^{-s} = \zeta(2s)/\zeta(s)$를 만족하는 리우빌 함수(Liouville function) $\lambda(n)$에 의해 생성된다. 다항식은 다음과 같이 정의된다:
   $$L^\dagger_\xi(s) = \sum_{n \le \xi} \frac{\lambda(n)}{n^s} P\left(\frac{\log(\xi/n)}{\log \xi}\right),$$
   여기서 $\xi = T^\vartheta$이며, $0 < \vartheta < 1$인 고정된 값이고, $P(x)$는 $P(0)=0, P(1)=1$을 만족하는 다항식이다.

2. 코시-슈바르츠 부등식: RH 가정하에서 대칭성 $L^\dagger_\xi(\rho) = L^\dagger_\xi(1-\rho)$가 성립한다. 이를 통해 코시 부등식을 적용하여 하한을 설정할 수 있다:
   $$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \frac{|M_1|^2}{M_2},$$
   여기서 $M_1 = \sum_{0<\gamma \le T} \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} L^\dagger_\xi(1-\rho)$ 이고 $M_2 = \sum_{0<\gamma \le T} |L^\dagger_\xi(\rho)|^2$ 이다.

3. 경로 적분: $M_1$과 $M_2$의 점근식을 평가하기 위해 저자는 코시의 유수 정리(Cauchy's residue theorem)를 사용한다. 합은 $\zeta(2s)/\zeta(s)$와 $\zeta'(s)/\zeta(s)$를 포함하는 경로 적분으로 변환된다. 경로는 임계선(critical line)으로 이동된 직사각형 경로이며, 적분은 수직 및 수평 구간으로 나뉜다.

   • 평균값 정리: 주항(main terms)의 평가는 진동 적분을 처리하기 위해 디리클레 다항식에 대한 Montgomery-Vaughan 평균값 정리에 의존한다.
   • 함수 방정식: 왼쪽 수직 경로의 경우, 제타 함수의 함수 방정식을 활용한다. 이전 연구(Milinovich-Ng)와의 주요한 기술적 차이점은 분자의 $\zeta(2s)$ 인자를 처리하는 것인데, 이는 $1/\zeta(s)$의 감쇠를 상쇄하므로 van der Corput의 2차 미분 테스트를 통한 $\chi(2s)/\chi(s)$의 진동 분석을 요구한다.

주요 기여 및 결과
본 논문은 모멘트 $M_1$과 $M_2$에 대한 다음과 같은 점근적 추정치를 확립한다 (Proposition 5 및 6):

• $M_1 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T) \vartheta \int_0^1 P(x) dx$.
• $M_2 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T)^2 \left[ \vartheta \int_0^1 P(x)^2 dx + \vartheta^2 \left(\int_0^1 P(x) dx\right)^2 \right]$.

이 추정치들을 하한 부등식에 대입하고 다항식 $P(x)$의 선택을 최적화함으로써, 저자는 주요 정리를 도출한다:

정리 2: 리만 가설과 $\zeta(s)$의 비자명한 영점이 단순하다고 가정할 때, 임의의 고정된 $\epsilon > 0$에 대하여:
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \left( \frac{1}{4\pi} - \epsilon \right) T$$
충분히 큰 $T$에 대해 성립한다.

최적화는 상수 다항식 $P(x) = 1$을 선택하고 $\vartheta \to 1^-$로 극한을 취함으로써 이루어진다.

의의 및 주장
본 논문은 해당 합에 대한 엄밀한 하한을 확립한다. 결과의 의의는 Ng의 추측과의 정량적 관계에 있다:

• 증명된 하한은 $\frac{1}{4\pi}T$이다.
• 추측된 점근식은 $\frac{1}{2\pi}T$이다.
• 결과적으로, 이 결과는 추측된 값의 정확히 절반 크기에 해당하는 하한을 설정한다.

저자는 Gonek의 추측( $\sum |\zeta'(\rho)|^{-2}$ 에 관한 것)에 대한 Milinovich와 Ng의 연구와 유사한 맥고를 제시하며, 증명된 하한과 추측된 점근식 사이에 유사한 2배의 격차가 존재함을 언급한다. 본 논문은 전체 추측을 증명한다고 주장하는 것이 아니라, 올바른 차수($O(T)$)를 확인하는 동시에 추측된 상수에 도달하는 데 있어 발생하는 어려움을 강조하는 유의미한 하한을 제공한다.