A note on a conjecture of Ng

Resumen Técnico de "A Note on a Conjecture of Ng"

Planteamiento del Problema
Esta nota aborda la Pregunta 5, Problema 1 de la Lista de Problemas de la Teoría Comparativa de los Números Primos, propuesta originalmente por Nathan Ng. El problema central se refiere al comportamiento asintótico del segundo momento de una razón específica de funciones zeta sumada sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, $\zeta(s)$.

La Conjetura 1 de Ng postula que, asumiendo la Hipótesis de Riemann (HR) y la simplicidad de los ceros no triviales $\rho = 1/2 + i\gamma$, la siguiente asintótica se cumple cuando $T \to \infty$:
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \sim \frac{T}{2\pi}.$$
El autor señala que, si bien la declaración original de Ng asumía implícitamente la HR, él ha indicado en comunicación privada que la conjetura probablemente se cumple asumiendo solo la simplicidad de los ceros. El presente trabajo procede bajo ambas suposiciones para asegurar que los sumandos estén bien definidos y para utilizar simetrías específicas en la demostración.

Metodología
La estrategia de la prueba sigue el enfoque de Milinovich y Ng, el cual se basa a su vez en el trabajo de Rudnick y Soundararajan. La técnica central consiste en el uso de un mollificador para acotar la suma desde abajo.

1. Construcción del Mollificador: El autor define un polinomio de Dirichlet suavizado, $L^\dagger_\xi(s)$, que aproxima a la función $\zeta(2s)/\zeta(s)$. Esta aproximación es generada por la función de Liouville $\lambda(n)$, que satisface $\sum \lambda(n)n^{-s} = \zeta(2s)/\zeta(s)$. El polinomio se define como:
   $$L^\dagger_\xi(s) = \sum_{n \le \xi} \frac{\lambda(n)}{n^s} P\left(\frac{\log(\xi/n)}{\log \xi}\right),$$
   donde $\xi = T^\vartheta$ para un $\vartheta$ fijo tal que $0 < \vartheta < 1$, y $P(x)$ es un polinomio con $P(0)=0$ y $P(1)=1$.

2. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: Bajo la suposición de la HR, la simetría $L^\dagger_\xi(\rho) = L^\dagger_\xi(1-\rho)$ se cumple para los ceros no triviales. Esto permite la aplicación de la desigualdad de Cauchy para establecer una cota inferior:
   $$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \frac{|M_1|^2}{M_2},$$
   donde $M_1 = \sum_{0<\gamma \le T} \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} L^\dagger_\xi(1-\rho)$ y $M_2 = \sum_{0<\gamma \le T} |L^\dagger_\xi(\rho)|^2$.

3. Integración en el Contorno: Para evaluar las asintóticas de $M_1$ y $M_2$, el autor emplea el teorema del residuo de Cauchy. Las sumas se convierten en integrales de contorno que involucran a $\zeta(2s)/\zeta(s)$ y $\zeta'(s)/\zeta(s)$ respectivamente. Los contornos son trayectorias rectangulares desplazadas hacia la línea crítica, y las integrales se dividen en segmentos verticales y horizontales.

   • Teoremas de Valor Medio: La evaluación de los términos principales depende del teorema de valor medio de Montgomery-Vaughan para polinomios de Dirichlet para manejar las integrales oscilatorias.
   • Ecuaciones Funcionales: Para los contornos verticales izquierdos, se utiliza la ecuación funcional de la función zeta. Una distincción técnica clave respecto al trabajo anterior (Milinovich-Ng) es el manejo del factor $\zeta(2s)$ en el numerador, el cual cancela el decaimiento de $1/\zeta(s)$, requiriendo un análisis de la oscilación de la razón $\chi(2s)/\chi(s)$ mediante la prueba de la segunda derivada de van der Corput.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece las siguientes estimaciones asintóticas para los momentos $M_1$ y $M_2$ (Proposiciones 5 y 6):

• $M_1 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T) \vartheta \int_0^1 P(x) dx$.
• $M_2 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T)^2 \left[ \vartheta \int_0^1 P(x)^2 dx + \vartheta^2 \left(\int_0^1 P(x) dx\right)^2 \right]$.

Al sustituir estas estimaciones en la desigualdad de la cota inferior y optimizar la elección del polinomio $P(x)$, el autor deriva el teorema principal:

Teorema 2: Asumiendo la Hipótesis de Riemann y que los ceros no triviales de $\zeta(s)$ son simples, para cualquier $\epsilon > 0$ fijo:
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \left( \frac{1}{4\pi} - \epsilon \right) T$$
para $T$ suficientemente grande.

La optimización se logra eligiendo el polinomio constante $P(x) = 1$ y tomando el límite cuando $\vartheta \to 1^-$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo establece una cota inferior rigurosa para la suma en cuestión. El significado del resultado reside en su relación cuantitativa con la conjetura de Ng:

• La cota inferior probada es $\frac{1}{4\pi}T$.
• La asintótica conjeturada es $\frac{1}{2\pi}T$.
• Consecuentemente, el resultado establece una cota inferior que es exactamente la mitad del valor conjeturado.

El autor establece un paralelismo con el trabajo de Milinovich y Ng sobre la conjetura de Gonek (relativa a $\sum |\zeta'(\rho)|^{-2}$), donde existe una discrepancia de factor de dos similar entre la cota inferior probada y la asintótica conjeturada. El artículo no pretende demostrar la conjetura completa, sino que proporciona una cota inferior no trivial que confirma el orden de magnitud correcto ($O(T)$), al tiempo que destaca la dificultad de cerrar la brecha hacia la constante conjeturada.