A note on a conjecture of Ng

关于 Ng 关于猜想之注记的技术摘要

问题陈述
本注记旨在解决《比较素数理论问题集》中的问题 1（问题 5），该问题最初由 Nathan Ng 提出。核心问题涉及对黎曼 $\zeta(s)$ 函数非平凡零点 $\rho$ 之上，一个特定 $\zeta$ 函数比值的二阶矩的渐近行为。

Ng 的猜想 1 指出，假设黎曼假设（RH）且非平凡零点 $\rho = 1/2 + i\gamma$ 是单根，则当 $T \to \infty$ 时，以下渐近关系成立：
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \sim \frac{T}{2\pi}.$$
作者指出，虽然 Ng 最初的表述隐含了对 RH 的假设，但他已在私人通信中表明，该猜想在仅假设零点为单根的情况下可能依然成立。本文在同时采用这两个假设的前提下进行，以确保求和项有定义，并利用证明中的特定对称性。

方法论
证明策略遵循 Milinovich 和 Ng 的方法，而后者本身基于 Rudnick 和 Soundararajan 的工作。核心技术是使用平滑化（mollifier）来从下方估计该和式。

1. 平滑化构造： 作者定义了一个平滑狄利克雷多项式 $L^\dagger_\xi(s)$，用以近似函数 $\zeta(2s)/\zeta(s)$。该近似是由 Liouville 函数 $\lambda(n)$ 生成的，其中满足 $\sum \lambda(n)n^{-s} = \zeta(2s)/\zeta(s)$。该多项式定义为：
   $$L^\dagger_\xi(s) = \sum_{n \le \xi} \frac{\lambda(n)}{n^s} P\left(\frac{\log(\xi/n)}{\log \xi}\right),$$
   其中 $\xi = T^\vartheta$，对于固定的 $0 < \vartheta < 1$，且 $P(x)$ 是满足 $P(0)=0$ 且 $P(1)=1$ 的多项式。

2. 柯西-施瓦茨不等式： 在 RH 假设下，对称性 $L^\dagger_\xi(\rho) = L^\dagger_\xi(1-\rho)$ 对非平凡零点成立。这使得应用柯西不等式来建立下界成为可能：
   $$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \frac{|M_1|^2}{M_2},$$
   其中 $M_1 = \sum_{0<\gamma \le T} \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} L^\dagger_\xi(1-\rho)$ 且 $M_2 = \sum_{0<\gamma \le T} |L^\dagger_\xi(\rho)|^2$。

3. 围道积分： 为了评估 $M_1$ 和 $M_2$ 的渐近行为，作者使用了柯西残数定理。通过将求和转化为涉及 $\zeta(2s)/\zeta(s)$ 和 $\zeta'(s)/\zeta(s)$ 的围道积分，将路径设为移至临界线的矩形路径，并将积分分为垂直段和水平段。

   • 均值定理： 对主项的评估依赖于用于处理振荡积分的 Montgomery-Vaughan 狄利克雷多项式均值定理。
   • 泛函方程： 对于左侧垂直轮廓，利用了 $\zeta$ 函数的泛函方程。与前人工作（Milinovich-Ng）的一个关键技术区别在于处理分子中的 $\zeta(2s)$ 因子，该因子抵消了 $1/\zeta(s)$ 的衰减，因此需要通过 van der Corput 二阶导数测试来分析比值 $\chi(2s)/\chi(s)$ 的振荡。

主要贡献与结果
论文建立了关于矩 $M_1$ 和 $M_2$ 的如下渐近估计（命题 5 和 6）：

• $M_1 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T) \vartheta \int_0^1 P(x) dx$.
• $M_2 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T)^2 \left[ \vartheta \int_0^1 P(x)^2 dx + \vartheta^2 \left(\int_0^1 P(x) dx\right)^2 \right]$.

通过将这些估计代入下界不等式，并优化多项式 $P(x)$ 的选择，作者得出了主要定理：

定理 2： 假设黎曼假设且 $\zeta(s)$ 的非平凡零点是单根，则对于任何固定的 $\epsilon > 0$：
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \left( \frac{1}{4\pi} - \epsilon \right) T$$
对于足够大的 $T$ 成立。

优化过程是通过选择常数多项式 $P(x) = 1$ 并取 $\vartheta \to 1^-$ 的极限实现的。

意义与主张
本文为所讨论的和式建立了一个严格的下界。其结果的意义在于其与 Ng 猜想的定量关系：

• 证明的下界为 $\frac{1}{4\pi}T$。
• 猜想的渐近值为 $\frac{1}{2\pi}T$。
• 因此，该结果建立了一个恰好为猜想值一半大小的下界。

作者将此与 Milinovich 和 Ng 关于 Gonek 猜想（关于 $\sum |\zeta'(\rho)|^{-2}$）的工作进行了类比，在其中证明的下界与猜想的渐近值之间也存在类似的二倍差异。本文并不声称证明了完整的猜想，而是提供了一个非平凡的下界，该下界证实了正确的数量级（$O(T)$），同时也凸显了缩小差距以达到猜想常数的难度。