A note on a conjecture of Ng

Resumo Técnico de "A Note on a Conjecture of Ng"

Enunciado do Problema
Esta nota aborda a Questão 5, Problema 1 da Lista de Problemas de Teoria Analítica de Números Primos, originalmente sugerida por Nathan Ng. O problema central concerne ao comportamento assintótico do segundo momento de uma razão específica de funções zeta somada sobre os zeros não triviais da função zeta de Riemann, $\zeta(s)$.

A Conjectura 1 de Ng postula que, assumindo a Hipótese de Riemann (HR) e a simplicidade dos zeros não triviais $\rho = 1/2 + i\gamma$, a seguinte assíntota ocorre quando $T \to \infty$:
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \sim \frac{T}{2\pi}.$$
O autor observa que, embora a afirmação original de Ng assumisse implicitamente a HR, ele indicou em comunicação privada que a conjectura provavelmente se mantém assumindo apenas a simplicidade dos zeros. O presente trabalho procede sob ambas as suposições para garantir que os termos da soma sejam bem definidos e para utilizar simetrias específicas na prova.

Metodologia
A estratégia de prova segue a abordagem de Milinovich e Ng, que por sua vez baseia-se no trabalho de Rudnick e Soundararajan. A técnica central envolve o uso de um suavizador (mollifier) para limitar a soma por baixo.

1. Construção do Suavizador: O autor define um polinômio de Dirichlet suavizado, $L^\dagger_\xi(s)$, aproximando a função $\zeta(2s)/\zeta(s)$. Esta aproximação é gerada pela função de Liouville $\lambda(n)$, que satisfaz $\sum \lambda(n)n^{-s} = \zeta(2s)/\zeta(s)$. O polinômio é definido como:
   $$L^\dagger_\xi(s) = \sum_{n \le \xi} \frac{\lambda(n)}{n^s} P\left(\frac{\log(\xi/n)}{\log \xi}\right),$$
   onde $\xi = T^\vartheta$ para um $\vartheta$ fixo com $0 < \vartheta < 1$, e $P(x)$ é um polinômio com $P(0)=0$ e $P(1)=1$.

2. Desigualdade de Cauchy-Schwarz: Sob a suposição da HR, a simetria $L^\dagger_\xi(\rho) = L^\dagger_\xi(1-\rho)$ é válida para zeros não triviais. Isso permite a aplicação da desigualdade de Cauchy para estabelecer um limite inferior:
   $$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \frac{|M_1|^2}{M_2},$$
   onde $M_1 = \sum_{0<\gamma \le T} \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} L^\dagger_\xi(1-\rho)$ e $M_2 = \sum_{0<\gamma \le T} |L^\dagger_\xi(\rho)|^2$.

3. Integração de Contorno: Para avaliar as assíntotas de $M_1$ e $M_2$, o autor emprega o teorema do resíduo de Cauchy. As somas são convertidas em integrais de contorno envolvendo $\zeta(2s)/\zeta(s)$ e $\zeta'(s)/\zeta(s)$ respectivamente. Os contornos são caminhos retangulares deslocados para a linha crítica, e as integrais são divididas em segmentos verticais e horizontais.

   • Teoremas de Valor Médio: A avaliação dos termos principais depende do teorema do valor médio de Montgomery-Vaughan para polinômios de Dirichlet para lidar com as integrais oscilatórias.
   • Equações Funcionais: Para os contornos verticais esquerdos, utiliza-se a equação funcional da função zeta. Uma distinção técnica fundamental em relação ao trabalho anterior (Milinovich-Ng) é o tratamento do fator $\zeta(2s)$ no numerador, que cancela o decaimento de $1/\zeta(s)$, exigindo uma análise da oscilação da razão $\chi(2s)/\chi(s)$ via o teste da segunda derivada de van der Corput.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo estabelece as seguintes estimativas assintóticas para os momentos $M_1$ e $M_2$ (Proposições 5 e 6):

• $M_1 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T) \vartheta \int_0^1 P(x) dx$.
• $M_2 \sim \frac{T}{2\pi} (\log T)^2 \left[ \vartheta \int_0^1 P(x)^2 dx + \vartheta^2 \left(\int_0^1 P(x) dx\right)^2 \right]$.
  Ao substituir estas estimativas na desigualdade do limite inferior e otimizar a escolha do polinômio $P(x)$, o autor deriva o teorema principal:

Teorema 2: Assumindo a Hipótese de Riemann e que os zeros não triviais de $\zeta(s)$ são simples, para qualquer $\epsilon > 0$ fixo:
$$\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \right|^2 \ge \left( \frac{1}{4\pi} - \epsilon \right) T$$
para $T$ suficientemente grande.

A otimização é alcançada escolhendendo o polinômio constante $P(x) = 1$ e tomando o limite conforme $\vartheta \to 1^-$.

Significância e Alegações
O artigo estabelece um limite inferior rigoroso para a soma em questão. A significância do resultado reside em sua relação quantitativa com a conjectura de Ng:

• O limite inferior provado é $\frac{1}{4\pi}T$.
• A assíntota conjecturada é $\frac{1}{2\pi}T$.
• Consequentemente, o resultado estabelece um limite inferior que é exatamente metade do valor conjecturado.

O autor traça um paralelo ao trabalho de Milinovich e Ng sobre a conjectura de Gonek (referente a $\sum |\zeta'(\rho)|^{-2}$), onde existe uma discrepância de fator de dois semelhante entre o limite inferior provado e a assíntota conjecturada. O artigo não pretende provar a conjectura completa, mas fornece um limite inferior não trivial que confirma a ordem de magnitude correta ($O(T)$), ao mesmo tempo em que destaca a dificuldade em fechar a lacuna até a constante conjecturada.