Artin-Schreier Root Stacks and lifts of group actions

Sintesi Tecnica: Stack di Radice di Artin-Schreier e Sollevamenti di Azioni di Gruppo

Enunciato del Problema
In caratteristica zero, le curve orbifold lisce sono ben comprese come stack di radice sopra i loro spazi moduli coarse, unicamente determinate dalle loro curve coarse e dai gruppi stabilizzatori ciclici. Tuttavia, in caratteristica positiva $p > 0$, questa classificazione fallisce perché i gruppi stabilizzatori possono essere non ciclici o non abeliani. Gli stack di radice di Artin-Schreier, introdotti da Kobin, forniscono un quadro per classificare le curve stacky con ramificazione selvaggia di ordine $p$ (parallelamente al caso in caratteristica zero), tuttavia il comportamento delle azioni di gruppo su questi stack rimane una questione aperta. Nello specifico, dato un gruppo algebrico affine connesso $G$ che agisce su una varietà smooth proiettiva $X$, non è immediatamente chiaro in quali condizioni tale azione si sollevi allo stack di radice di Artin-Schreier associato. Inoltre, la ricerca della compatibilità delle linearizzazioni per fasci invertibili su questi stack sotto le azioni sollevate richiede un'indagine.

Metodologia
Gli autori utilizzano la teoria degli stack algebrici e della normalizzazione per affrontare il problema del sollevamento. La metodologia procede in tre fasi principali:

1. Costruzione dello Stack: Il documento utilizza la definizione dello stack di radice di Artin-Schreier $\wp^{-1}_m((L, s, f)/X)$ come la normalizzazione di un diagramma di pullback coinvolgente la copertura universale di Artin-Schreier $\wp_m: [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a] \to [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a]$. Lo stack è definito da un fibrato lineare $L$, una sezione $s$ (che definisce un divisore $D$) e una sezione $f$ di $L^{\otimes m}$, dove $m$ è coprimo con $p$.
2. Sollevamento tramite Normalizzazione: Per sollevare l'azione di $G$ da $X$ allo stack di radice di Artin-Schreier, gli autori costruiscono prima un'azione sullo stack di pullback non normalizzato $X_m$. Definiscono l'azione sugli oggetti e sulle frecce del gruppoide fibra su uno schema $T$ utilizzando la linearizzazione di $G$ del fibrato lineare $L$ e le proprietà di invarianza delle sezioni $s$ e $f$.
3. Applicazione delle Proprietà di Normalizzazione: Una volta stabilita l'azione sullo stack non normalizzato $X_m$, gli autori invocano un risultato da [AB] (Proposizione A.6) il quale afferma che un morfismo di stack algebrici localmente noetheriani induce un unico morfismo sulle loro normalizzazioni, a condizione che la mappa indotta sui punti sia dominante sulle componenti irriducibili. Poiché $G$ è liscio e connesso, la normalizzazione di $G \times X_m$ è isomorfa a $G \times X_m^\nu$, permettendo all'azione di discendere allo stack di radice di Artin-Schreier normalizzato $X_m^\nu$.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema 3.10 (Sollevamento di Azioni di Gruppo): Il risultato primario stabilisce un criterio per sollevare un'azione di $G$ su una varietà proiettiva liscia $X$ al suo stack di radice di Artin-Schreier $X_m^\nu$. Il teorema richiede:

  • $G$ è un gruppo algebrico affine connesso senza caratteri non banali (ad esempio, gruppi semisimpli connessi).
  • Il divisore Cartier effettivo $D$ (definito dallo zero locus di $s$) è $G$-invariante.
  • La sezione $f \in H^0(X, L^{\otimes m})$ non ha zeri comuni con $s$, e la sua restrizione sul divisore $mD$ è una sezione invariante sotto la linearizzazione di $G$ indotta su $L^{\otimes m}|_{mD}$.
    Sotto queste condizioni, l'azione di $G$ su $X$ ammette un sollevamento a un'azione di $G$ su $X_m^\nu$.

• Teorema 4.6 (Linearizzazione del Fibrato Tautologico): Il documento dimostra l'esistenza di un fibrato invertibile tautologico $N$ sullo stack di radice di Artin-Schreier $X_m^\nu$ tale che $N^{\otimes p} \cong \pi^*L$, dove $\pi: X_m^\nu \to X$ è la mappa di moduli coarse. Fondamentalmente, gli autori dimostrano che l'azione di $G$ sollevata su $X_m^\nu$ ammette una linearizzazione di $G$ su questo fibrato $N$.

Significato e Rivendicazioni
Il documento sostiene di fornire un quadro necessario per studiare le azioni di gruppo sugli stack di radice di Artin-Schreier, che sono essenziali per comprendere le curve stacky con ramificazione selvaggia in caratteristica positiva. Stabilendo i criteri di sollevamento e l'esistenza di fibrati tautologici linearizzati, il lavoro apre la strada a studi equivarianti di questi stack. Gli autori suggeriscono che, analogamente al caso in caratteristica zero dove i fasci vettoriali sugli stack di radice si relazionano ai fasci parabolici sullo spazio moduli coarse, questi risultati possono facilitare lo studio dei fasci sugli stack di radice di Artin-Schreier da una prospettiva equivariante. Il lavoro è presentato come un'estensione diretta delle tecniche utilizzate in caratteristica zero (specificamente riferendosi a [CP]) verso il contesto più complesso della caratteristica positiva, affrontando i vincoli specifici imposti dalla ramificazione selvaggia e dalla struttura dell'estensione di Artin-Schreier.