Artin-Schreier Root Stacks and lifts of group actions

Resumen Técnico: Stacks de Raíz de Artin-Schreier y Levantamientos de Acciones de Grupos

Planteamiento del Problema
En característica cero, las curvas de orbifold suaves están bien comprendidas como stacks de raíz sobre sus espacios modulares coarse, determinadas unívocamente por sus curvas coarse y sus grupos estabilizadores cíclicos. Sin embargo, en característica positiva $p > 0$, esta clasificación falla porque los grupos estabilizadores pueden ser no cíclicos o no abelianos. Mientras que los stacks de raíz de Artin-Schreier, introducidos por Kobin, proporcionan un marco para clasificar curvas stacky con ramificación salvaje de orden $p$ (paralelamente al caso de característica cero), el comportamiento de las acciones de grupos sobre estos stacks sigue siendo una cuestión abierta. Específicamente, dado un grupo algebraico afín conexo $G$ que actúa sobre una variedad suave proyectiva $X$ en característica $p$, no está claro de inmediato bajo qué condiciones esta acción se levanta al stack de raíz de Artin-Schreier asociado. Además, la existencia de linealizaciones compatibles para haces invertibles en estos stacks bajo dichas acciones levantadas requiere investigación.

Metodología
Los autores emplean la teoría de stacks algebraicos y normalización para abordar el problema del levantamiento. La metodología procede en tres etapas principales:

1. Construcción del Stack: El artículo utiliza la definición del stack de raíz de Artin-Schreier $\wp^{-1}_m((L, s, f)/X)$ como la normalización de un diagrama de pullback involucrando la cobertura de Artin-Schreier universal $\wp_m: [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a] \to [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a]$. El stack está definido por un fibrado de línea $L$, una sección $s$ (que define un divisor $D$), y una sección $f$ de $L^{\otimes m}$, donde $m$ es coprimo con $p$.
2. Levantamiento vía Normalización: Para levantar la acción de $G$ de $X$ al stack de raíz de Artin-Schreier, los autores primero construyen una acción en el stack de pullback no normalizado $X_m$. Definen la acción sobre los objetos y flechas del grupoide de fibra sobre un esquema $T$ utilizando la linealización de $G$ del fibrado de línea $L$ y las propiedades de invariancia de las secciones $s$ y $f$.
3. Aplicación de Propiedades de Normalización: Una vez establecida la acción en el stack no normalizado $X_m$, los autores invocan un resultado de [AB] (Proposición A.6) que establece que un morfismo de stacks algebraicos localmente noetherianos induce un morfismo único en sus normalizaciones, siempre que el mapa inducido en los puntos sea dominante en los componentes irreducibles. Dado que $G$ es suave y conexo, la normalización de $G \times X_m$ es isomórfica a $G \times X_m^\nu$, lo que permite que la acción descienda al stack de raíz de Artin-Schreier normalizado $X_m^\nu$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema 3.10 (Levantamiento de Acciones de Grupos): El resultado principal establece un criterio para levantar una acción de $G$ en una variedad suave proyectiva $X$ a su stack de raíz de Artin-Schreier $X_m^\nu$. El teorema requiere:

  • $G$ es un grupo algebraico afín conexo sin caracteres no triviales (por ejemplo, grupos semisimples conexos).
  • El divisor de Cartier efectivo $D$ (definido por el lugar de ceros de $s$) es $G$-invariante.
  • La sección $f \in H^0(X, L^{\otimes m})$ no tiene ceros comunes con $s$, y su restricción al divisor $mD$ es una sección invariante bajo la linealización de $G$ inducida en $L^{\otimes m}|_{mD}$.
    Bajo estas condiciones, la acción de $G$ en $X$ admite un levantamiento a una acción de $G$ en $X_m^\nu$.

• Teorema 4.6 (Linealización del Fibrado Tautológico): El artículo demuestra la existencia de un fibrado invertible tautológico $N$ en el stack de raíz de Artin-Schreier $X_m^\nu$ tal que $N^{\otimes p} \cong \pi^*L$, donde $\pi: X_m^\nu \to X$ es el mapa modular coarse. Crucialmente, los autores demuestran que la acción levantada de $G$ en $X_m^\nu$ admite una $G$-linealización en este fibrado $N$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un marco necesario para estudiar las acciones de grupos en stacks de raíz de Artin-Schreier, los cuales son esenciales para comprender las curvas stacky con ramificación salvaje en característica positiva. Al establecer los criterios de levantamiento y la existencia de fibrados tautológicos linealizados, el trabajo abre la puerta a estudios equivariantes de estos stacks. Los autores sugieren que, de manera análoga al caso de característica cero donde los fibrados vectoriales en stacks de raíz se relacionan con haces parabólicos en el espacio modular coarse, estos resultados pueden facilitar el estudio de los haces en stacks de raíz de Artin-Schreier desde una perspectiva equivariante. El trabajo se presenta como una extensión directa de las técnicas utilizadas en característica cero (específicamente haciendo referencia a [CP]) al entorno más complejo de la característica positiva, abordando las restricciones específicas impuestas por la ramificación salvaje y la estructura de la extensión de Artin-Schreier.