Artin-Schreier Root Stacks and lifts of group actions

技术摘要：Artin-Schreier 根叠层与群作用的提升

问题陈述
在特征为零的情况下，光滑轨道叠层（orbifold curves）作为其粗模空间上的根叠层（root stacks）已被充分理解，并由其粗曲线和循环稳定子群唯一确定。然而，在正特征 $p > 0$ 的情况下，这种分类失效了，因为稳定子群可能是非循环或非阿贝尔的。由 Kobin 引入的 Artin-Schreier 根叠层提供了一个框架，用于对具有 $p$ 阶野分歧（wild ramification）的叠层曲线进行分类（类比于特征零的情况），但关于这些叠层上群作用的行为仍是一个开放性问题。具体而言，给定一个连通仿射代数群 $G$ 作用在特征 $p$ 下的一个光滑射影簇 $X$ 上，目前尚不清楚在何种条件下，该作用可以提升到相关的 Artin-Schreier 根叠层上。此外，研究这些叠层上的可逆层在提升作用下的相容线性化（compatible linearizations）也是一项亟待解决的问题。

方法论
作者利用代数叠层和归一化（normalization）理论来解决提升问题。该方法论分为三个主要阶段：

1. 叠层的构造： 文中利用 Artin-Schreier 根叠层 $\wp^{-1}_m((L, s, f)/X)$ 的定义，该定义是涉及通用 Artin-Schreier 覆盖 $\wp_m: [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a] \to [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a]$ 的拉回图的归一化。该叠层由一个线丛 $L$、一个截面 $s$（定义了一个除子 $D$）以及一个截面 $f \in L^{\otimes m}$ 定义。
2. 通过归一化进行提升： 为了将 $G$-作用从 $X$ 提升到根叠层，作者首先在“未归一化”的拉回叠层 $X_m$ 上构造了一个作用。他们通过利用线丛 $L$ 的 $G$-线性化以及截面 $s$ 和 $f$ 的不变性质，定义了在过 $T$ 的纤维群组上的对象和态射的作用。
3. 应用归一化性质： 一旦在未归一化的叠层 $X_m$ 上建立了作用，作者便援引了 [AB] 中的结果（命题 A.6），该结果指出：若诱导的映射在不可约分支上是满射，则局部 Noetherian 代数叠层的态射会诱导一个唯一的归一化态射。由于 $G$ 是光滑且连通的，因此 $X_m$ 的归一化与 $G \times X_m^\nu$ 同构，从而允许作用下降到归一化的 Artin-Schreier 根叠层 $X_m^\nu$ 上。

核心贡献与结果

• 定理 3.10（群作用的提升）： 主要结果确立了将光滑射影簇 $X$ 上的 $G$-作用提升到其 Artin-Schreier 根叠层 $X_m^\nu$ 上的判别准则。该定理要求：

  • $G$ 是一个没有非平凡特征（例如连通半单群）的连通仿射代数群。
  • 有效 Cartier 除子 $D$（由 $s$ 的零点集定义）是 $G$-不变的。
  • 截面 $f \in H^0(X, L^{\otimes m})$ 与 $s$ 没有共同零点，且其在 $mD$上的限制在$L^{\otimes m}|_{mD}$诱导的$G$-线性化下是不变截面。
    在这些条件下，$X$ 上的 $G$-作用可以提升为 $X_m^\nu$ 上的 $G$-作用。

• 定理 4.6（本征层/固有层的线性化）： 文中证明了 Artin-Schreier 根叠层 $X_m^\nu$ 上存在一个本征可逆层 $N$，使得 $N^{\otimes p} \cong \pi^*L$，其中 $\pi: X_m^\nu \to X$ 是粗模映射。至关重要的是，作者证明了提升到 $X_m^\nu$ 上的 $G$-作用在该层 $N$ 上具有 $G$-线性化。

意义与主张
本文声称为研究 Artin-Schreier 根叠层上的群作用提供了必要的框架，这对于理解正特征下具有野分歧的叠层曲线至关重要。通过建立提升准则和线性化本征层的存在性，这项工作为这些叠层的等变研究开辟了道路。作者指出，类比于特征零情况下根叠层上的向量丛与粗模空间上的抛物丛（parabolic bundles）的关系，这些结果可能有助于从等变的角度研究 Artin-Schreier 根叠层上的层。该工作被呈现为对特征零技术（特别是引用 [CP]）在更复杂的正特征环境下直接性的扩展，解决了由野分歧和 Artin-Schreier 扩张结构所带来的特定约束。