Artin-Schreier Root Stacks and lifts of group actions

Resumo Técnico: Stacks de Raiz de Artin-Schreier e Levantamentos de Ações de Grupos

Enunciado do Problema
Em característica zero, curvas orbifold suaves são bem compreendidas como stacks de raiz sobre seus espaços moduli coarse, determinadas unicamente por suas curvas coarse e grupos estabilizadores cíclicos. No entanto, em característica positiva $p > 0$, essa classificação falha porque os grupos estabilizadores podem ser não-cíclicos ou não-abelianos. Enquanto as stacks de raiz de Artin-Schreier, introduzidas por Kobin, fornecem um arcabouço para classificar curvas stacky com ramificação selvagem de ordem $p$ (paralelamente ao caso de característica zero), o comportamento das ações de grupos nessas stacks permanece uma questão em aberto. Especificamente, dada uma variedade algébrica conexa e afim $G$ atuando sobre uma variedade suave projetiva $X$ em característica $p$, não é imediatamente claro sob quais condições essa ação se levanta para a stack de raiz de Artin-Schreier associada. Além disso, a existência de linearizações compatíveis para feixes invertíveis em tais stacks sob essas ações levantadas requer investigação.

Metodologia
Os autores utilizam a teoria de stacks algébricas e normalização para abordar o problema do levantamento. A metodologia procede em três estágios principais:

1. Construção da Stack: O artigo utiliza a definição da stack de raiz de Artin-Schreier $\wp^{-1}_m((L, s, f)/X)$ como a normalização de um diagrama de pullback envolvendo a cobertura universal de Artin-Schreier $\wp_m: [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a] \to [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a]$. A stack é definida por um feixe de linha $L$, uma seção $s$ (definindo um divisor $D$), e uma seção $f$ de $L^{\otimes m}$, onde $m$ é coprimo com $p$.
2. Levantamento via Normalização: Para levantar a ação de $G$ de $X$ para a stack de raiz, os autores primeiro constroem uma ação na stack de pullback não-normalizada $X_m$. Eles definem a ação nos objetos e flechas do grupóide de fibra sobre um esquema $T$ utilizando a linearização de $G$ do feixe de linha $L$ e as propriedades de invariância das seções $s$ e $f$.
3. Aplicação de Propriedades de Normalização: Uma vez estabelecida a ação na stack não-normalizada $X_m$, os autores invocam um resultado de [AB] (Proposição A.6) que afirma que um morfismo de stacks algébricas localmente noetherianas induz um morfismo único em suas normalizações, desde que o mapa induzido em pontos seja dominante em componentes irredutíveis. Como $G$ é suave e conexo, a normalização de $G \times X_m$ é isomórfica a $G \times X_m^\nu$, permitindo que a ação desça para a stack de raiz de Artin-Schreier normalizada $X_m^\nu$.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 3.10 (Levantamento de Ações de Grupos): O principal resultado estabelece um critério para levantar uma ação de $G$ em uma variedade suave projetiva $X$ para sua stack de raiz de Artin-Schreier $X_m^\nu$. O teorema requer:

  • $G$ é um grupo algébrico conexo e afim sem caracteres não-triviais (ex: grupos semissimples conexos).
  • O divisor de Cartier efetivo $D$ (definido pelo lugar de zeros de $s$) é $G$-invariante.
  • A seção $f \in H^0(X, L^{\otimes m})$ não possui zeros comuns com $s$, e sua restrição ao divisor $mD$ é uma seção invariante sob a linearização de $G$ induzida em $L^{\otimes m}|_{mD}$.
    Sob estas condições, a ação de $G$ em $X$ admite um levantamento para uma ação de $G$ em $X_m^\nu$.

• Teorema 4.6 (Linearização do Feixe Tautológico): O artigo prova a existência de um feixe invertível tautológico $N$ na stack de raiz de Artin-Schreier $X_m^\nu$ tal que $N^{\otimes p} \cong \pi^*L$, onde $\pi: X_m^\nu \to X$ é o mapa moduli coarse. Crucialmente, os autores demonstram que a ação levantada de $G$ em $X_m^\nu$ admite uma $G$-linearização neste feixe $N$.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer um arcabouço necessário para o estudo de ações de grupos em stacks de raiz de Artin-Schreier, que são essenciais para entender curvas stacky com ramificação selvagem em característica positiva. Ao estabelecer os critérios de levantamento e a existência de feixes tautológicos linearizados, o trabalho abre caminho para estudos equivariantes destas stacks. Os autores sugerem que, analogamente ao caso de característica zero onde feixes vetoriais em stacks de raiz relacionam-se a feixes parabólicos no espaço moduli coarse, estes resultados podem facilitar o estudo de feixes em stacks de raiz de Artin-Schreier a partir de uma perspectiva equivariante. O trabalho é apresentado como uma extensão direta de técnicas usadas em característica zero (especificamente referenciando [CP]) para o cenário mais complexo de característica positiva, abordando as restrições específicas impostas pela ramificação selvagem e pela estrutura da extensão de Artin-Schreier.