Artin-Schreier Root Stacks and lifts of group actions

Résumé Technique : Stacks de Racine d'Artin-Schreier et Relèvements d'Actions de Groupes

Énoncé du Problème
En caractéristique nulle, les courbes orbifolaires lisses sont bien comprises en tant que stacks de racine sur leurs espaces de modules grossiers, déterminées de manière unique par leurs courbes grossières et leurs groupes stabilisateurs cycliques. Cependant, en caractéristique positive $p > 0$, cette classification échoue car les groupes stabilisateurs peuvent être non cycliques ou non abéliens. Les stacks de racine d'Artin-Schreier, introduites par Kobin, fournissent un cadre pour classifier les courbes stacky avec ramification sauvage d'ordre $p$ (parallèlement au cas de la caractéristique nulle), mais le comportement des actions de groupes sur ces stacks demeure une question ouverte. Plus précisément, étant donné un groupe algébrique affine connexe $G$ agissant sur une variété lisse projective $X$ en caractéristique $p$, il n'est pas immédiatement clair sous quelles conditions cette action se relève sur l'associated stack de racine d'Artin-Schreier. De plus, l'existence de linéarisations compatibles pour les faisceaux inversibles sur ces stacks sous de tels relèvements d'actions nécessite une investigation.

Méthodologie
Les auteurs utilisent la théorie des stacks algébriques et de la normalisation pour aborder le problème du relèvement. La méthodologie procède en trois étapes principales :

1. Construction du Stack : Le papier utilise la définition du stack de racine d'Artin-Schreier $\wp^{-1}_m((L, s, f)/X)$ comme la normalisation d'un diagramme de tiré (pullback) impliquant la couverture d'Artin-Schreier universelle $\wp_m: [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a] \to [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a]$. Le stack est défini par un fibré en droites $L$, une section $s$ (définissant un diviseur $D$), et une section $f$ de $L^{\otimes m}$, où $m$ est premier à $p$.
2. Relèvement par Normalisation : Pour relever l'action de $G$ de $X$ vers le stack de racine d'Artin-Schreier, les auteurs construisent d'abord une action sur le stack de tiré non normalisé $X_m$. Ils définent l'action sur les objets et les flèches du groupeïde fibreux sur un schéma $T$ en utilisant la linéarisation par $G$ du fibré en droites $L$ et les propriétés d'invariance des sections $s$ et $f$.
3. Application des Propriétés de Normalisation : Une fois l'action établie sur le stack non normalisé $X_m$, les auteurs invoquent un résultat de [AB] (Proposition A.6) qui stipule qu'un morphisme de stacks algébriques localement noethériens induit un morphisme unique sur leurs normalisations, à condition que le morphisme induit sur les points soit dominant sur les composantes irréductibles. Puisque $G$ est lisse et connexe, la normalisation de $G \times X_m$ est isomorphe à $G \times X_m^\nu$, permettant ainsi à l'action de descendre vers le stack de racine d'Artin-Schreier normalisé $X_m^\nu$.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème 3.10 (Relèvement d'Actions de Groupes) : Le résultat principal établit un critère pour le relèvement d'une action de $G$ sur une variété projective lisse $X$ vers son stack de racine d'Artin-Schreier $X_m^\nu$. Le théorème requiert :

  • $G$ est un groupe algébrique affine connexe sans caractères non triviaux (par exemple, des groupes semi-simples connexes).
  • Le diviseur cartier effectif $D$ (défini par le lieu nul de $s$) est $G$-invariant.
  • La section $f \in H^0(X, L^{\otimes m})$ n'a pas de zéros communs avec $s$, et sa restriction au diviseur $mD$ est une section invariante sous la linéarisation induite par $G$ sur $L^{\otimes m}|_{mD}$.
    Sous ces conditions, l'action de $G$ sur $X$ admet un relèvement à une action de $G$ sur $X_m^\nu$.

• Théorème 4.6 (Linéarisation du Fibré Tautologique) : Le papier prouve l'existence d'un fibré inversible tautologique $N$ sur le stack de racine d'Artin-Schreier $X_m^\nu$ tel que $N^{\otimes p} \cong \pi^*L$, où $\pi: X_m^\nu \to X$ est l'application de module grossier. Crucialement, les auteurs démontrent que l'action de $G$ relevée sur $X_m^\nu$ admet une $G$-linéarisation sur ce fibré $N$.

Signification et Revendications
Le papier prétend fournir un cadre nécessaire pour l'étude des actions de groupes sur les stacks de racine d'Artin-Schreier, qui sont essentiels pour comprendre les courbes stacky avec ramification sauvage en caractéristique positive. En établissant les critères de relèvement et l'existence de faisceaux tautologiques linéarisés, ce travail ouvre la voie aux études équivariantes de ces stacks. Les auteurs suggèrent que, de manière analogue au cas de la caractéristique zéro où les fibrés vectoriels sur les stacks de racine sont liés aux fibrés paraboliques sur le module grossier, ces résultats peuvent faciliter l'étude des faisceaux sur les stacks de racine d'Artin-Schreier d'un point de vue équivariant. Le travail est présenté comme une extension directe des techniques utilisées en caractéristique zéro (référençant spécifiquement [CP]) vers le cadre plus complexe de la caractéristique positive, traitant des contraintes spécifiques imposées par la ramification sauvage et la structure de l'extension d'Artin-Schreier.