Artin-Schreier Root Stacks and lifts of group actions

Technische Samenvatting: Artin-Schreier Root Stacks en Lifts van Groepsacties

Probleemstelling
In karakteristiek nul zijn gladde orbifold-curven goed begrepen als root stacks over hun grove moduli-ruimtes, uniek bepaald door hun grove curven en cyclische stabilisatorgroepen. Echter, in positieve karakteristiek $p > 0$ faalt deze classificatie omdat stabilisatorgroepen niet-cyclisch of niet-abels kunnen zijn. Hoewel Artin-Schreier root stacks, geïntroduceerd door Kobin, een kader bieden voor het classificeren van stacky curven met wilde ramificatie van orde $p$ (parallel aan het geval in karakteristiek nul), blijft het gedrag van groepsacties op deze stacks een open vraag. Specifiek is het niet direct duidelijk onder welke voorwaarden een actie van een samenhangende affiene algebraïsche groep $G$ op een glad projectieve variëteit $X$ lift naar de bijbehorende Artin-Schreier root stack. Bov�elderecht vereist de existentie van compatibele linearisaties voor invertibele sheaves op deze stacks onder dergelijke gelifte acties nader onderzoek.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de theorie van algebraïsche stacks en normalisatie om het liftingsprobleem aan te pakken. De methodologie verloopt in drie hoofdfasen:

1. Constructie van de Stack: Het artikel maakt gebruik van de definitie van de Artin-Schreier root stack $\wp^{-1}_m((L, s, f)/X)$ als de normalisatie van een pullback-diagram betrokken bij de universele Artin-Schreier cover $\wp_m: [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a] \to [\mathbb{P}(1, m)/\mathbb{G}_a]$. De stack wordt gedefinieerd door een lijnbundel $L$, een sectie $s$ (die een divisor $D$ definieert), en een sectie $f$ van $L^{\otimes m}$, waarbij $m$ copriem is aan $p$.
2. Lifting via Normalisatie: Om de $G$-actie van $X$ naar de root stack te liften, construeren de auteurs eerst een actie op de ongenormaliseerde pullback-stack $X_m$. Zij definiëren de actie op de objecten en pijlen van de fiber groupoid over een schema $T$ door gebruik te maken van de $G$-linearisatie van de lijnbundel $L$ en de invariantie-eigenschappen van de secties $s$ en $f$.
3. Toepassing van Normalisatie-eigenschappen: Zodra de actie is vastgesteld op de ongenormaliseerde stack $X_m$, roepen de auteurs een resultaat uit [AB] (Propositie A.6) aan, die stelt dat een morfisme van lokaal Noetherian algebraïsche stacks een unieke morfisme op hun normalisaties induceert, mits de geïnduceerde afbeelding op punten dominant is op irredeusibele componenten. Aangezien $G$ glad en samenhangend is, is de normalisatie van $G \times X_m$ isomorf aan $G \times X_m^\nu$, waardoor de actie kan dalen naar de genormaliseerde Artin-Schreier root stack $X_m^\nu$.

Kernbijdragen en Resultaten

• Stelling 3.10 (Lifting van Groepsacties): Het primaire resultaat stelt een criterium vast voor het liften van een $G$-actie op een glad projectieve variëteit $X$ naar haar Artin-Schreier root stack $X_m^\nu$. De stelling vereist:

  • $G$ is een samenhangende affiene algebraïsche groep met geen niet-triviale karakters (bijv. samenhangende semibele groepen).
  • De effectieve Cartier divisor $D$ (gedefinieerd door de nulverzameling van $s$) is $G$-invariant.
  • De sectie $f \in H^0(X, L^{\otimes m})$ heeft geen gemeenschappelijke nulpunten met $s$, en de restrictie ervan tot de divisor $mD$ is een invariante sectie onder de geïnduceerde $G$-linearisatie op $L^{\otimes m}|_{mD}$.
    Onder deze voorwaarden laat de $G$-actie op $X$ een lift toe naar een $G$-actie op $X_m^\nu$.

• Stelling 4.6 (Linearisatie van Tautologische Sheaf): Het artikel bewijst de existentie van een tautologische invertibele sheaf $N$ op de Artin-Schreier root stack $X_m^\nu$ zodanig dat $N^{\otimes p} \cong \pi^*L$, waarbij $\pi: X_m^\nu \to X$ de grove moduli-afbeelding is. Cruciaal is dat de auteurs aantonen dat de gelifte $G$-actie op $X_m^\nu$ een $G$-linearisatie bezit op deze sheaf $N$.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een noodzakelijk kader te bieden voor het bestuderen van groepsacties op Artin-Schreier root stacks, die essentieel zijn voor het begrijpen van stacky curven met wilde ramificatie in positieve karakteristiek. Door de lifting-criteria en de existentie van gelineraliseerde tautologische sheaves vast te stellen, opent het werk de deur naar equivariante studies van deze stacks. De auteurs suggereren dat, analoog aan het geval in karakteristiek nul waar vectorbundels op root stacks gerelateerd zijn aan parabolische bundels op de grove moduli-ruimte, deze resultaten de studie van sheaves op Artin-Schreier root stacks vanuit een equivariant perspectief kunnen faciliteren. Het werk wordt gepresenteerd als een directe uitbreiding van technieken gebruikt in karakteristiek nul (specifiek refererend aan [CP]) naar de complexere setting van positieve karakteristiek, waarbij de specifieke beperkingen van wilde ramificatie en de structuur van de Artin-Schreier extensie worden geadresseerd.