Uncertainty Quantification of Engineering Structures by Polynomial Chaos Expansion and Multivariate Active Learning

Sintesi Tecnica: Quantificazione dell'Incertezza di Strutture Ingegneristiche tramite Espansione di Chaos Polinomiale e Apprendimento Attivo Multivariato

Definizione del Problema
In molte applicazioni ingegneristiche, modelli numerici ad alta fedeltà (ad esempio, modelli a elementi finiti) generano simultaneamente molteplici quantità di interesse (QoI) sotto gli stessi parametri di input. La quantificazione dell'incertezza (UQ) per questi sistemi richiede spesso numerose valutazioni del modello, il che può essere computazionalmente proibitivo. Per mitigare questo problema, i modelli surrogati, specificamente l'Espansione di Chaos Polinomiale (PCE), sono ampiamente utilizzati. Tuttavia, l'accuratezza di un modello surrogato PCE dipende fortemente dal Design Sperimentale (ED), ovvero l'insieme dei campioni di addestramento.

Le strategie di campionamento statiche tradizionali (ad esempio, il campionamento di Latin Hypercube, Monte Carlo) selezionano tutti i punti a priori. Sebbene efficaci per casi semplici, esse non riescono a sfruttare le informazioni provenienti dai campioni precedentemente valutati. Questa limitazione è particolarmente acuta nei problemi multi-output, dove i diversi output possono presentare differenti sensibilità, complessità o regolarità attraverso lo spazio di input. Un singolo design statico potrebbe non rappresentare adeguatamente tutti gli output simultaneamente. Al contrario, eseguire un campionamento adattivo separato per ogni output aumenterebbe il costo computazionale e rischierebbe l'incoerenza dei dati. I criteri adattivi esistenti, come il criterio $\Theta$ basato sulla varianza proposto da Novák et al., sono formulati per problemi a output singolo e non si generalizzano direttamente a QoI vettoriali senza compromettere l'efficienza o la coerenza.

Metodologia
Il documento propone una strategia di campionamento sequenziale adattivo generalizzata per la costruzione di modelli surrogati PCE multi-output. Il nucleo del metodo è un'estensione del criterio $\Theta$ a singolo output in un contesto multi-output.

1. Criterio $\Theta$ Multi-Output: Il metodo seleziona nuovi campioni da un pool di candidati massimizzando un criterio unificato che bilancia l'"exploitation" (puntando a regioni di alta varianza) e l'"exploration" (garantendo la copertura spaziale). Il criterio è definito come:
   $$\Theta(\xi^{(c)}) = \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(c)})}{\max_{\xi^{(c)}_i \in S_c} \sigma^2_r(\xi^{(c)}_i)} \right)^{1/2} \times \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(s)})}{\max_{\xi^{(s)}_i \in S_s} \sigma^2_r(\xi^{(s)}_i)} \right)^{1/2} \times l_{c,s}^M$$
   Dove:

   • $\xi^{(c)}$ è un punto candidato e $\xi^{(s)}$ è il suo vicino più prossimo nell'attuale ED.
   • $\sigma^2_r(\xi)$ rappresenta il contributo della varianza locale del $r$-esimo output nel punto $\xi$.
   • I primi due termini costituiscono un aggregazione della varianza normalizzata attraverso tutti gli output, utilizzando una media geometrica per evitare che candidati con varianza trascurabile in spazi ad alta dimensionalità vengano selezionati solo a causa di grandi distanze.
   • $l_{c,s}$ è la distanza euclidea tra il candidato e il suo vicino più prossimo, fungendo da termine di esplorazione.
   • $M$ è la dimensione del vettore di input.

2. Processo Adattivo: L'algoritmo arricchisce iterativamente l'ED. Inizia con un piccolo design iniziale, costruisce un modello surrogato PCE e poi seleziona nuovi punti da un pool di candidati che massimizzano il criterio $\Theta$. Questo processo continua fino a quando non viene soddisfatto un criterio di arresto o viene esaurito il budget computazionale.

3. Metriche di Valutazione: Le prestazioni sono valutate utilizzando l'Errore Assoluto Medio (MAE), l'Errore Assoluto Massimo ($AE_{max}$), l'errore di varianza relativa ($\epsilon_{var}$) e l'errore di cross-validazione Leave-One-Out (LOO) ($Q^2$).

Contributi Chiave

• Generalizzazione del Campionamento Adattivo: Il documento generalizza il framework di campionamento adattivo sequenziale per i modelli PCE multi-output, affrontando la sfida di costruire un unico ED coerente per risposte vettoriali.
• Aggregazione della Varianza Normalizzata: Viene introdotto un criterio innovativo che aggrega i contributi di varianza da molteplici output. Questo approccio bilancia la necessità di ridurre l'incertezza nelle regioni ad alta varianza (exploitation) con la necessità di mantenere la copertura spaziale (exploration).
• Gestione dell'Eterogeneità dell'Output: Il metodo tiene conto del fatto che diversi output possono avere diversi livelli di variabilità o difficoltà di approssimazione, evitando l'inefficienza del campionamento separato per ogni output.

Risultati
Il metodo proposto è stato validato attraverso tre esempi numerici:

1. Singolarità di Linea Speculare 2D: Una funzione sintetica con gradienti ripidi e singolarità. Il criterio $\Theta$ ha dimostrato una convergenza più rapida in MAE e errore di varianza relativa rispetto al campionamento di Latin Hypercube (LHS). Ha catturato efficacemente le curve singolari, identificando caratteristiche localizzate che i design uniformi LHS avevano mancato. Il metodo ha anche mostrato una ridotta variabilità tra prove ripetute.
2. Trave in Cemento Armato: Un problema di ingegneria strutturale che coinvolge 15 output (momenti flettenti e forze di taglio) e 8 variabili aleatorie. Il criterio $\Theta$ ha ottenuto una precisione superiore negli errori di predizione del caso peggiore ($AE_{max}$) e una convergenza più rapida nella stima della varianza rispetto a LHS. Ha mantenuto una banda di deviazione standard più stretta, indicando una maggiore robustezza.
3. Turbina Eolica Offshore (OWT): Sono stati analizzati due casi: momenti flettenti indotti dal vento e spostamenti accoppiati a multifisica. In entrambi i casi, il criterio $\Theta$ ha fornito un migliore controllo sugli errori del caso peggiore e ha converguto più rapidamente ai valori di varianza di riferimento. Il metodo si è dimostrato particolarmente efficace nell'identificare le regioni associate a risposte estreme sotto budget di campionamento limitati.

Significatività e Rivendicazioni
Gli autori affermano che il proposto criterio $\Theta$ multi-output offre un framework pratico e robusto per il campionamento adattivo nella modellazione surrogata PCE. La significatività del lavoro risiede nella sua capacità di:

• Migliorare l'accuratezza e la stabilità del surrogato per problemi multi-output sotto budget computazionali limitati.
• Fornire stime più affidabili delle statistiche di secondo ordine (varianza) rispetto ai metodi di campionamento statici come LHS.
• Ridurre la variabilità dei risultati tra sessioni ripetute, aumentando la robustezza del processo di UQ.
• Identificare efficientemente le regioni di alta varianza o di risposte estreme, il che è critico per l'analisi dell'affidabilità e la valutazione dello stato limite in sistemi ingegneristici complessi.

Il documento riconosce alcuni limiti, come la dipendenza da un pool di candidati predefinito (che può essere computazionalmente costoso da generare per problemi ad altissima dimensionalità) e il potenziale overhead computazionale degli aggiornamenti iterativi della regressione sparsa. Il lavoro futuro suggerisce di esplorare la gestione esplicita delle correlazioni tramite tecniche come l'Analisi delle Componenti Principali (PCA) e l'integrazione con PCE multi-elemento.