Uncertainty Quantification of Engineering Structures by Polynomial Chaos Expansion and Multivariate Active Learning

Resumen Técnico: Cuantificación de la Incertidumbre de Estructuras de Ingeniería mediante la Expansión de Caos Polinomial y el Aprendizaje Activo Multivariante

Planteamiento del Problema
En muchas aplicaciones de ingeniería, los modelos numéricos de alta fidelidad (por ejemplo, modelos de elementos finitos) generan múltiples cantidades de interés (QoIs, por sus siglas en inglés) simultáneamente bajo los mismos parámetros de entrada. La cuantificación de la incertidumbre (UQ) para estos sistemas a menudo requiere numerosas evaluaciones del modelo, lo que puede ser computacionalmente prohibitivo. Para mitigar esto, se utilizan ampliamente los modelos sustitutos (surrogates), específicamente la Expansión de Caos Polinomial (PCE). Sin embargo, la precisión de un modelo sustituto de PCE depende fuertemente del Diseño Experimental (ED), o del conjunto de muestras de entrenamiento.

Las estrategias de muestreo estático tradicionales (por ejemplo, el muestreo de hipercubo latino, Monte Carlo) seleccionan todos los puntos a priori. Aunque son efectivas para casos simples, no logran explotar la información de las muestras evaluadas previamente. Esta limitación es particularmente aguda en problemas de múltiples salidas donde diferentes salidas pueden exhibir distintas sensibilidades, complejidades o suavidad a través del espacio de entrada. Un único diseño estático puede no representar adecuadamente todas las salidas simultáneamente. Por el contrario, realizar un muestreo adaptativo separado para cada salida aumenta el costo computacional y conlleva el riesgo de inconsistencia de datos. Los criterios adaptativos existentes, como el criterio basado en la varianza $\Theta$ propuesto por Novák et al., están formulados para problemas de una sola salida y no se generalizan directamente a QoIs de valores vectoriales sin comprometer la eficiencia o la consistencia.

Metodología
El artículo propone una estrategia de muestreo secuencial adaptativo generalizada para la construcción de modelos sustitutos de PCE multisalida. El núcleo del método es una extensión del criterio $\Theta$ de una sola salida a un contexto multisalida.

1. Criterio $\Theta$ Multisalida: El método selecciona nuevas muestras de un conjunto de candidatos maximizando un criterio unificado que equilibra la "explotación" (apuntar a regiones de alta varianza) y la "exploración" (asegurar la cobertura espacial). El criterio se define como:
   $$\Theta(\xi^{(c)}) = \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(c)})}{\max_{\xi^{(c)}_i \in S_c} \sigma^2_r(\xi^{(c)}_i)} \right)^{1/2} \times \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(s)})}{\max_{\xi^{(s)}_i \in S_s} \sigma^2_r(\xi^{(s)}_i)} \right)^{1/2} \times l_{c,s}^M$$
   Donde:

   • $\xi^{(c)}$ es un punto candidato y $\xi^{(s)}$ es su vecino más cercano en el ED actual.
   • $\sigma^2_r(\xi)$ representa la contribución de la varianza local de la $r$-ésima salida en el punto $\xi$.
   • Los dos primeros términos constituyen una agregación de varianza normalizada a través de todas las salidas, utilizando una media geométrica para evitar que se seleccionen candidatos con varianza insignificante en espacios de alta dimensión basándose únicamente en grandes distancias.
   • $l_{c,s}$ es la distancia euclidiana entre el candidato y su vecino más cercano, que sirve como término de exploración.
   • $M$ es la dimensión del vector de entrada.

2. Proceso Adaptativo: El algoritmo enriquece iterativamente el ED. Comienza con un diseño inicial pequeño, construye un sustituto PCE y luego selecciona nuevos puntos de un conjunto de candidatos que maximizan el criterio $\Theta$. Este proceso continúa hasta que se cumple un criterio de parada o se agota el presupuesto computacional.

3. Métricas de Evaluación: El desempeño se evalúa utilizando el Error Absoluto Medio (MAE), el Error Absoluto Máximo ($AE_{max}$), el error de varianza relativa ($\epsilon_{var}$) y el error de validación cruzada Leave-One-Out (LOO) ($Q^2$).

Contribuciones Clave

• Generalización del Muestreo Adaptativo: El artículo generaliza el marco de muestreo secuencial adaptativo para modelos de PCE multisalida, abordando el desafío de construir un único ED consistente para respuestas de valores vectoriales.
• Agregación de Varianza Normalizada: Se introduce un nuevo criterio que agrega las contribuciones de varianza de múltiples salidas. Este enfoque equilibra la necesidad de reducir la incertidumbre en regiones de alta varianza (explotación) con la necesidad de mantener la cobertura espacial (exploración).
• Gestión de la Heterogeneidad de Salida: El método tiene en cuenta el hecho de que diferentes salidas pueden tener diferentes niveles de variabilidad o dificultad de aproximación, evitando la ineficiencia de un muestreo separado para cada salida.

Resultos
El método propuesto fue validado mediante tres ejemplos numéricos:

1. Singularidades de Línea de Espejo 2D: Una función sintética con gradientes pronunciados y singularidades. El criterio $\Theta$ demostró una convergencia más rápida en MAE y error de varianza relativa en comparación con el muestreo de hipercubo latino (LHS). Logró concentrar eficazmente las muestras cerca de las curvas singulares, capturando características localizadas que los diseños uniformes de LHS pasaron por alto. El método también mostró una reducción en la variabilidad entre ensayos repetidos.
2. Viga de Hormigón Armado: Un problema de ingeniería estructural que involucra 15 salidas (momentos flectores y fuerzas cortantes) y 8 variables aleatorias. El criterio $\Theta$ logró una precisión superior en los errores de predicción de peor caso ($AE_{max}$) y una convergencia más rápida en la estimación de la varianza en comparación con LHS. Mantuvo una banda de desviación estándar más estrecha, lo que indica una mayor robustez.
3. Turbina Eólica Marina (OWT): Se analizaron dos casos: momentos flectores inducidos por el viento y desplazamientos acoplados multifísicos. En ambos casos, el criterio $\Theta$ proporcionó un mejor control sobre los errores de peor caso y convergió más rápidamente hacia los valores de varianza de referencia. El método resultó particularmente efectivo para identificar regiones asociadas con respuestas extremas bajo presupuestos de muestreo limitados.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que el criterio $\Theta$ multisalida propuesto ofrece un marco práctico y robusto para el muestreo adaptativo en el modelado de sustitutos PCE. La significancia del trabajo radica en su capacidad para:

• Mejorar la precisión y estabilidad del sustituto para problemas multisalida bajo presupuestos computacionales limitados.
• Proporcionar estimaciones más fiables de las estadísticas de segundo orden (varianza) en comparación con los métodos de muestreo estático como LHS.
• Reducir la variabilidad de los resultados en ejecuciones repetidas, mejorando la robustez del proceso de UQ.
• Identificar eficientemente regiones de alta varianza o de respuestas extremas, lo cual es crítico para el análisis de confiabilidad y la evaluación de estados límite en sistemas de ingeniería complejos.

El artículo reconoce limitaciones, tales como la dependencia de un conjunto de candidatos predefinido (que puede ser computacionalmente costoso de generar para problemas de muy alta dimensión) y el potencial de sobrecarga computacional de las actualizaciones iterativas de regresión dispersa (sparse regression). Se sugiere como trabajo futuro explorar el manejo explícito de la correlación mediante técnicas como el Análisis de Componentes Principales (PCA) y la integración con PCEs de múltiples elementos.