Uncertainty Quantification of Engineering Structures by Polynomial Chaos Expansion and Multivariate Active Learning

Resumo Técnico: Quantificação de Incerteza de Estruturas de Engenharia por Expansão de Chaos Polinomial e Aprendizado Ativo Multivariado

Definição do Problema
Em muitas aplicações de engenharia, modelos numéricos de alta fidelidade (por exemplo, modelos de elementos finitos) geram múltiplas quantidades de interesse (QoIs) simultaneamente sob os mesmos parâmetros de entrada. A Quantificação de Incerteza (UQ) para esses sistemas frequentemente exige inúmeras avaliações do modelo, o que pode ser computacionalmente proibitivo. Para mitigar isso, modelos substitutos (surrogates), especificamente a Expansão de Chaos Polinomial (PCE), são amplamente utilizados. No entanto, a precisão de um modelo substituto de PCE depende fortemente do Design Experimental (ED), ou do conjunto de amostras de treinamento.

Estratégias de amostragem estáticas tradicionais (por exemplo, Amostragem de Hipercubo Latino, Monte Carlo) selecionam todos os pontos a priori. Embora eficazes para casos simples, elas falham em explorar informações de amostras previamente avaliadas. Essa limitação é particularmente aguda em problemas de múltiplas saídas, onde diferentes saídas podem exibir variadas sensibilidades, complexidades ou suavidade através do espaço de entrada. Um único design estático pode não representar adequadamente todas as saídas simultaneamente. Por outro lado, realizar uma amostragem adaptativa separada para cada saída aumenta o custo computacional e gera riscos de inconsistência de dados. Critérios adaptativos existentes, como o critério $\Theta$ baseado em variância proposto por Novák et al., são formulados para problemas de saída única e não se generalizam diretamente para QoIs de valores vetoriais sem comprometer a eficiência ou a consistência.

Metodologia
O artigo propõe uma estratégia de amostragem sequencial adaptativa generalizada para a construção de modelos substitutos de PCE de múltiplas saídas. O núcleo do método é uma extensão do critério $\Theta$ de saída única para um contexto de múltiplas saídas.

1. Critério $\Theta$ de Múltiplas Saídas: O método seleciona novas amostras de um conjunto de candidatos maximizando um critério unificado que equilibra "explotação" (visando regiões de alta variância) e "exploração" (garantindo cobertura espacial). O critério é definido como:
   $$\Theta(\xi^{(c)}) = \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(c)})}{\max_{\xi^{(c)}_i \in S_c} \sigma^2_r(\xi^{(c)}_i)} \right)^{1/2} \times \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(s)})}{\max_{\xi^{(s)}_i \in S_s} \sigma^2_r(\xi^{(s)}_i)} \right)^{1/2} \times l_{c,s}^M$$
   Onde:

   • $\xi^{(c)}$ é um ponto candidato e $\xi^{(s)}$ é seu vizinho mais próximo no ED atual.
   • $\sigma^2_r(\xi)$ representa a contribuição de variância local da $r$-ésima saída no ponto $\xi$.
   • Os dois primeiros termos constituem uma agregação de variância normalizada através de todas as saídas, utilizando uma média geométrica para evitar que candidatos com variância desprezível em espaços de alta dimensão sejam selecionados apenas devido a grandes distâncias.
   • $l_{c,s}$ é a distância euclidiana entre o candidato e seu vizinho mais próximo, servindo como o termo de exploração.
   • $M$ é a dimensão do vetor de entrada.

2. Processo Adaptativo: O algoritmo enriquece iterativamente o ED. Ele começa com um design inicial pequeno, constrói um substituto de PCE e, em seguida, seleciona novos pontos de um conjunto de candidatos que maximizam o critério $\Theta$. Este processo continua até que um critério de parada seja atendido ou o orçamento computacional seja esgotado.

3. Métricas de Avaliação: O desempenho é avaliado usando Erro Médio Absoluto (MAE), Erro Máximo Absoluto ($AE_{max}$), erro de variância relativa ($\epsilon_{var}$) e erro de validação cruzada Leave-One-Out (LOO) ($Q^2$).

Principais Contribuições

• Generalização da Amostragem Adaptativa: O artigo generaliza o framework de amostragem adaptativa sequencial para modelos substitutos de PCE de múltiplas saídas, abordando o desafio de construir um único ED consistente para respostas de valores vetoriais.
• Agregação de Variância Normalizada: Um novo critério é introduzido que agrega contribuições de variância de múltiplas saídas. Esta abordagem equilibra a necessidade de reduzir a incerteza em regiões de alta variância (explotação) com a necessidade de manter a cobertura espacial (exploração).
• Tratamento de Heterogeneidade de Saída: O método leva em conta o fato de que diferentes saídas podem ter diferentes níveis de variabilidade ou dificuldade de aproximação, evitando a ineficiência de amostragem separada para cada saída.

Resultados
O método proposto foi validado através de três exemplos numéricos:

1. Singularidades de Linha Espelhada 2D: Uma função sintética com gradientes íngremes e singularidades. O critério $\Theta$ demonstrou convergência mais rápida em MAE e erro de variância relativa em comparação com a Amostragem de Hipercubo Latino (LHS). Ele efetivamente concentrou amostras próximas às curvas singulares, capturando características localizadas que os designs uniformes de LHS perderam. O método também mostrou redução na variabilidade entre ensaios repetidos.
2. Viga de Concreto Armado: Um problema de engenharia estrutural envolvendo 15 saídas (momentos fletores e forças cortantes) e 8 variáveis aleatórias. O critério $\Theta$ alcançou precisão superior em erros de predição de pior caso ($AE_{max}$) e convergência mais rápida na estimativa de variância em comparação com o LHS. Manteve uma banda de desvio padrão mais estreita, indicando maior robustez.
3. Turbina Eólica Offshore (OWT): Dois casos foram analisados: momentos fletores induzidos pelo vento e deslocamentos acoplados multifísicos. Em ambos os casos, o critério $\Theta$ proporcionou melhor controle sobre os erros de pior caso e convergiu mais rapidamente para os valores de variância de referência. O método provou-se particularmente eficaz em identificar regiões associadas a respostas extremas sob orçamentos de amostragem limitados.

Significância e Alegações
Os autores alegam que o proposto critério $\Theta$ de múltiplas saídas oferece um framework prático e robusto para amostragem adaptativa em modelagem de substituto de PCE. A significância do trabalho reside em sua capacidade de:

• Melhorar a precisão e estabilidade do substituto para problemas de múltiplas saídas sob orçamentos computacionais limitados.
• Fornecer estimativas mais confiáveis de estatísticas de segunda ordem (variância) comparado a métodos de amostragem estática como LHS.
• Reduzir a variabilidade dos resultados entre execuções repetidas, aumentando a robustez do processo de UQ.
• Identificar eficientemente regiões de alta variância ou respostas extremas, o que é crítico para análise de confiabilidade e avaliação de estado limite em sistemas de engenharia complexos.

O artigo reconhece limitações, como a dependência de um conjunto de candidatos predefinido (que pode ser computacionalmente caro para gerar em problemas de altíssima dimensão) e o potencial overhead computacional de atualizações iterativas de regressão esparsa. Sugere-se que trabalhos futuros explorem o tratamento explícito de correlação via técnicas como Análise de Componentes Principais (PCA) e a integração com PCEs de múltiplos elementos.