Uncertainty Quantification of Engineering Structures by Polynomial Chaos Expansion and Multivariate Active Learning

Technische Zusammenfassung: Unsicherheitsquantifizierung von technischen Strukturen mittels Polynomialer Chaos-Expansion und multivariater aktiver Lernverfahren

Problemstellung
In vielen technischen Anwendungen erzeugen hochgenaue numerische Modelle (z. B. Finite-Elemente-Modelle) unter densen Eingangsparametern gleichzeitig mehrere Größen von Interesse (Quantities of Interest, QoIs). Die Unsicherheitsquantifizierung (Uncertainty Quantification, UQ) für solche Systeme erfordert oft zahlreiche Modellbewertungen, was rechentechnisch prohibitiv sein kann. Um dies abzumildern, werden Ersatzmodelle (Surrogate Models), insbesondere die Polynomiale Chaos-Expansion (PCE), weit verbreitet eingesetzt. Die Genauigkeit eines PCE-Ersatzmodells hängt jedoch stark vom Versuchsplan (Experimental Design, ED), also der Menge der Trainingsstichproben, ab.

Traditionelle statische Stichprobenstrategien (z. B. Latin Hypercube Sampling, Monte Carlo) wählen alle Punkte a priori aus. Während dies für einfache Fälle effektiv ist, nutzen sie die Informationen aus zuvor ausgewerteten Stichproben nicht aus. Diese Einschränkung ist besonders gravierend bei Multi-Output-Problemen, bei denen verschiedene Ausgabewerte unterschiedliche Sensitivitäten, Komplexitäten oder Glattheiten über den Eingangsraum hinweg aufweisen können. Ein einzelner statischer Entwurf kann möglicherweise nicht alle Ausgabewerte gleichzeitig adäquat repräsentieren. Umgekehrt erhöht die Durchführung eines separaten adaptiven Samplings für jeden einzelnen Output die Rechenkosten und birgt das Risiko der Dateninkonsistenz. Bestehende adaptive Kriterien, wie das von Novák et al. vorgeschlagene Varianzbasierte $\Theta$-Kriterium, sind für Single-Output-Probleme formuliert und lassen sich nicht direkt auf vektorwertige QoIs verallgemeinern, ohne die Effizienz oder Konsistenz zu beeinträchtigen.

Methodik
Das Paper schlägt eine generalisierte adaptive sequentielle Stichprobenstrategie zur Konstruktion von Multi-Output-PCE-Ersatzmodellen vor. Der Kern der Methode ist eine Erweiterung des Single-Output-$\Theta$-Kriteriums auf einen Multi-Output-Kontext.

1. Multi-Output $\Theta$-Kriterium: Die Methode wählt neue Stichproben aus einem Kandidatenpool aus, indem ein vereinheitlichtes Kriterium maximiert wird, das ein Gleichgewicht zwischen „Exploitation“ (Zielung auf Regionen hoher Varianz) und „Exploration“ (Gewährleistung der räumlichen Abdeckung) herstellt. Das Kriterium ist definiert als:
   $$\Theta(\xi^{(c)}) = \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(c)})}{\max_{\xi^{(c)}_i \in S_c} \sigma^2_r(\xi^{(c)}_i)} \right)^{1/2} \times \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(s)})}{\max_{\xi^{(s)}_i \in S_s} \sigma^2_r(\xi^{(s)}_i)} \right)^{1/2} \times l_{c,s}^M$$
   Wobei:

   • $\xi^{(c)}$ ein Kandidatenpunkt und $\xi^{(s)}$ sein nächster Nachbar im aktuellen ED ist.
   • $\sigma^2_r(\xi)$ den lokalen Varianzbeitrag des $r$-ten Outputs am Punkt $\xi$ darstellt.
   • Die ersten beiden Terme eine normalisierte Varianzaggregation über alle Outputs bilden, welche das geometrische Mittel nutzt, um zu verhindern, dass Kandidaten mit vernachlässigbarer Varianz in hochdimensionalen Räumen allein aufgrund großer Distanzen ausgewählt werden.
   • $l_{c,s}$ die euklidische Distanz zwischen dem Kandidaten und seinem nächsten Nachbarn ist, was als Explorationsterm dient.
   • $M$ die Dimension des Eingangsvektors ist.

2. Adaptiver Prozess: Der Algorithmus bereichert den ED iterativ. Er beginnt mit einem kleinen Initialdesign, konstruiert ein PCE-Ersatzmodell und wählt dann neue Punkte aus einem Kandidatenpool aus, die das $\Theta$-Kriterium maximieren. Dieser Prozess setzt sich fort, bis ein Abbruchkriterium erfüllt ist oder das Rechenbudget erschöpft ist.

3. Evaluationsmetriken: Die Leistungsfähigkeit wird mittels des mittleren absoluten Fehlers (Mean Absolute Error, MAE), des maximalen absoluten Fehlers ($AE_{max}$), des relativen Varianzfehlers ($\epsilon_{var}$) und des Leave-One-Out (LOO) Kreuzvalidierungsfehlers ($Q^2$) bewertet.

Zentrale Beiträge

• Generalisierung des adaptiven Samplings: Das Paper generalisiert den sequentiellen adaptiven Sampling-Rahmen für Multi-Output-PCE und adresset die Herausforderung, einen einzigen, konsistenten ED für vektorwertige Antworten zu konstruieren.
• Normalisierte Varianzaggregation: Ein neuartiges Kriterium wird eingeführt, das die Varianzbeiträge aus mehreren Outputs aggregiert. Dieser Ansatz balanciert die Notwendigkeit, die Unsicherheit in Hochvarianzregionen zu reduzen (Exploitation), mit der Notwendigkeit, die räumliche Abdeckung aufrechtzuerhalten (Exploration).
• Handhabung von Output-Heterogenität: Die Methode berücksichtigt, dass unterschiedliche Outputs verschiedene Grade an Variabilität und Approximationsschwierigkeit aufweisen können, wodurch die Ineffizienz eines separaten Samplings für jeden Output vermieden wird.

Ergebnisse
Die vorgeschlagene Methode wurde durch drei numerische Beispiele validiert:

1. 2D-Spiegellinien-Singularitäten: Eine synthetische Funktion mit steilen Gradienten und Singularitäten. Das $\Theta$-Kriterium zeigte eine schnellere Konvergenz in MAE und relativem Varianzfehler im Vergleich zu Latin Hypercube Sampling (LHS). Es konzentrierte die Stichproben effektiv in der Nähe der Singularitätskurven und erfasste so lokalisierte Merkmale, die von uniformen LHS-Designs übersehen wurden. Die Methode zeigte zudem eine reduzierte Variabilität über wiederholte Testläufe hinweg.
2. Stahlbetonbalken: Ein Problem des Bauingenieurwesens mit 15 Outputs (Biegemomente und Querkräfte) und 8 Zufallsvariablen. Das $\Theta$-Kriterium erreichte eine überlegene Genauigkeit in den Worst-Case-Vorhersagefehlern ($AE_{max}$) und eine schnellere Konvergenz in der Varianzschätzung im Vergleich zu LHS. Es hielt ein engeres Standardabweichungsband aufrecht, was auf eine höhere Robustheit hindeutet.
3. Offshore-Windkraftanlage (OWT): Es wurden zwei Fälle analysiert: windinduzierte Biegemomente und multiphysikalisch gekoppelte Verschiebungen. In beiden Fällen bot das $\Theta$-Kriterium eine bessere Kontrolle über die Worst-Case-Fehler und konvergierte schneller gegen die Referenzvarianzwerte. Die Methode erwies sich als besonders effektiv bei der Identifizierung von Regionen, die mit extremen Antworten assoziiert sind, unter begrenzten Stichprobenbudgets.

Bedeutung und Ansprüche
Die Autoren behaupten, dass das vorgeschlagene Multi-Output-$\Theta$-Kriterium einen praktischen und robusten Rahmen für das adaptive Sampling in der PCE-Ersatzmodellierung bietet. Die Bedeutung der Arbeit liegt in ihrer Fähigkeit:

• Die Genauigkeit und Stabilität von Ersatzmodellen für Multi-Output-Probleme unter begrenzten Rechenbudgets zu verbessern.
• Zuverlässigere Schätzungen von Sekundärstatistiken (Varianz) im Vergleich zu statischen Sampling-Methoden wie LHS zu liefern.
• Die Variabilität der Ergebnisse über wiederholte Durchläufe zu reduzieren und somit die Robustheit des UQ-Prozesses zu erhöhen.
• Regionen mit hoher Varianz oder extremen Antworten effizient zu identifizieren, was für die Zuverlässigkeitsanalyse und die Bewertung von Grenzzuständen in komplexen technischen Systemen entscheidend ist.

Das Paper räumt Einschränkungen ein, wie etwa die Abhängigkeit von einem vordefinierten Kandidatenpool (der für sehr hochdimensionale Probleme rechenintensiv generiert werden kann) und den potenziellen Rechenaufwand für iterative Sparse-Regression-Updates. Zukünftige Arbeiten sollen die explizite Handhabung von Korrelationen mittels Techniken wie der Hauptkomponentenanalyse (PCA) und die Integration mit Multi-Element-PCEs untersuchen.