Uncertainty Quantification of Engineering Structures by Polynomial Chaos Expansion and Multivariate Active Learning

Résumé Technique : Quantification de l'Incertitude des Structures d'Ingénierie par l'Expansion des Chaos Polynomiaux et l'Apprentissage Actif Multivarié

Énoncé du Problème
Dans de nombreuses applications d'ingénierie, les modèles numériques de haute fidélité (par exemple, les modèles d'éléments finis) génèrent simultanément plusieurs quantités d'intérêt (QoI) sous les mêmes paramètres d'entrée. La quantification de l'incertitude (UQ) pour ces systèmes nécessite souvent de nombreuses évaluations de modèles, ce qui peut être extrêmement coûteux sur le plan computationnel. Pour atténuer cela, des modèles de substitution, spécifiquement l'expansion des chaos polynomiaux (PCE), sont largement utilisés. Cependant, la précision d'un modèle de substitution PCE dépend fortement du plan d'expérience (ED), ou de l'ensemble des échantillons d'entraînement.

Les stratégies d'échantillonnage statiques traditionnelles (par exemple, l'échantillonnage de Latin Hypercube, Monte Carlo) sélectionnent tous les points a priori. Bien qu'efficaces pour les cas simples, elles ne parviennent pas à exploiter les informations provenant des échantillons précédemment évalués. Cette limitation est particulièrement aiguë dans les problèmes multi-sorties où différentes sorties peuvent présenter des sensibilités, des complexités ou des lissages variés à travers l'espace d'entrée. Un plan statique unique peut ne pas représenter de manière adéquate toutes les sorties simultanément. Inversement, effectuer un échantillonnage adaptatif séparé pour chaque sortie augmente le coût computationnel et risque de créer une incohérence des données. Les critères adaptatifs existants, tels que le critère $\Theta$ basé sur la variance proposé par Novák et al., sont formulés pour des problèmes à sortie unique et ne se généralisent pas directement aux QoI vectorielles sans compromettre l'efficacité ou la cohérence.

Méthodologie
Le document propose une stratégie d'échantillonnage séquentiel adaptatif généralisée pour la construction de modèles de substitution PCE multi-sorties. Le cœur de la méthode est une extension du critère $\Theta$ à sortie unique vers un contexte multi-sorties.

1. Critère $\Theta$ Multi-Sorties : La méthode sélectionne de nouveaux échantillons à partir d'un ensemble de candidats en maximisant un critère unifié qui équilibre l'« exploitation » (ciblant les régions de haute variance) et l'« exploration » (assurant la couverture spatiale). Le critère est défini comme :
   $$\Theta(\xi^{(c)}) = \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(c)})}{\max_{\xi^{(c)}_i \in S_c} \sigma^2_r(\xi^{(c)}_i)} \right)^{1/2} \times \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(s)})}{\max_{\xi^{(s)}_i \in S_s} \sigma^2_r(\xi^{(s)}_i)} \right)^{1/2} \times l_{c,s}^M$$
   Où :

   • $\xi^{(c)}$ est un point candidat et $\xi^{(s)}$ est son plus proche voisin dans l'ED actuel.
   • $\sigma^2_r(\xi)$ représente la contribution de la variance locale de la $r$-ième sortie au point $\xi$.
   • Les deux premiers termes constituent une agrégation de variance normalisée à travers toutes les sorties, utilisant une moyenne géométrique pour éviter que des candidats ayant une variance négligeable dans des espaces de grande dimension ne soient sélectionnés uniquement en raison de distances importantes.
   • $l_{c,s}$ est la distance euclidienne entre le candidat et son plus proche voisin, servant de terme d'exploration.
   • $M$ est la dimension du vecteur d'entrée.

2. Processus Adaptatif : L'algorithme enrichit itérativement l'ED. Il commence par un petit design initial, construit un substitut PCE, puis sélectionne de nouveaux points à partir d'un ensemble de candidats qui maximisent le critère $\Theta$. Ce processus se poursuit jusqu'à ce qu'un critère d'arrêt soit atteint ou que le budget computationnel soit épuisé.

3. Métriques d'Évaluation : La performance est évaluée à l'aide de l'erreur absolue moyenne (MAE), de l'erreur absolue maximale ($AE_{max}$), de l'erreur de variance relative ($\epsilon_{var}$) et de l'erreur de validation croisée Leave-One-Out (LOO) ($Q^2$).

Contributions Clés

• Généralisation de l'Échantillonnage Adaptatif : Le document généralise le cadre d'échantillonnage adaptatif séquentiel pour le PCE multi-sorties, répondant au défi de la construction d'un ED unique et cohérent pour des réponses vectorielles.
• Agrégation de Variance Normalisée : Un nouveau critère est introduit pour agréger les contributions de variance de plusieurs sorties. Cette approche équilibre le besoin de réduire l'incertitude dans les régions de haute variance (exploitation) avec le besoin de maintenir une couverture spatiale (exploration).
• Gestion de l'Hétérogénéité des Sorties : La méthode tient compte du fait que différentes sorties peuvent avoir des niveaux de variabilité ou de difficulté d'approximation différents, évitant ainsi l'inefficacité d'un échantillonnage séparé pour chaque sortie.

Résultats
La méthode proposée a été validée par trois exemples numériques :

1. Singularités de Ligne Miroir en 2D : Une fonction synthétique présentant des gradients abrupts et des singularités. Le critère $\Theta$ a démontré une convergence plus rapide en termes de MAE et d'erreur de variance relative par rapport à l'échantillonnage de Latin Hypercube (LHS). Il a efficacement concentré les échantillons près des courbes singulières, capturant des caractéristiques localisées que les plans LHS uniformes avaient manquées. La méthode a également montré une réduction de la variabilité entre les essais répétés.
2. Poutre en Béton Armé : Un problème de génie structurel impliquant 15 sorties (moments de flexion et efforts tranchants) et 8 variables aléatoires. Le critère $\Theta$ a obtenu une précision supérieure pour les erreurs de prédiction dans le pire des cas ($AE_{max}$) et une convergence plus rapide dans l'estimation de la variance par rapport au LHS. Il a maintenu une bande d'écart-type plus étroite, indiquant une plus grande robustesse.
3. Éolienne Offshore (OWT) : Deux cas ont été analysés : les moments de flexion induits par le vent et les déplacements couplés multiphysiques. Dans les deux cas, le critère $\Theta$ a permis un meilleur contrôle des erreurs extrêmes et a convergé plus rapidement vers les valeurs de variance de référence. La méthode s'est avérée particulièrement efficace pour identifier les régions associées aux réponses extrêmes sous des budgets d'échantillonnage limités.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que le critère $\Theta$ multi-sorties proposé offre un cadre pratique et robuste pour l'échantillonnage adaptatif dans la modélisation de substitution PCE. La portée de ce travail réside dans sa capacité à :

• Améliorer la précision et la stabilité des substituts pour les problèmes multi-sorties sous des budgets computationnels limités.
• Fournir des estimations plus fiables des statistiques de second ordre (variance) par rapport aux méthodes d'échantillonnage statiques comme le LHS.
• Réduire la variabilité des résultats lors de cycles répétés, renforçant ainsi la robustesse du processus d'UQ.
• Identifier efficacement les régions de haute variance ou de réponses extrêmes, ce qui est crucial pour l'analyse de fiabilité et l'évaluation de l'état limite dans les systèmes d'ingénierie complexes.

Le document reconnaît des limites, telles que la dépendance à un ensemble de candidats prédéfini (qui peut être coûteux à générer pour des problèmes à très haute dimension) et le potentiel de surcharge computationnelle des mises à jour itératives de régression parcimonieuse (sparse regression). Des travaux futurs sont suggérés pour explorer la gestion explicite des corrélations via des techniques telles que l'Analyse en Composantes Principales (PCA) et l'intégration avec des PCE multi-éléments.