Uncertainty Quantification of Engineering Structures by Polynomial Chaos Expansion and Multivariate Active Learning

技术摘要：基于多项式混沌展开与多元主动学习的工程结构不确定性量化

问题陈述
在许多工程应用中，高保真数值模型（例如有限元模型）会在相同的输入参数下同时生成多个感兴趣的数量（QoIs）。此类系统的确定性量化（UQ）通常需要大量的模型评估，这在计算上可能非常昂贵。为了缓解这一问题，代理模型（特别是多项式混沌展开，PCE）被广泛使用。然而，PCE 代理模型的准确性高度依赖于实验设计（ED），即训练样本集的选取。

传统的静态采样策略（如拉丁超立方采样 LHS、蒙特卡洛法）会预先选择所有点。虽然对于简单情况有效，但它们无法利用先前已评估样本所提供的信息。这种局限性在多输出问题中尤为突出，因为不同的输出在输入空间内可能表现出不同的敏感性、复杂性或平滑度。单一的静态设计可能无法充分代表所有输出。相反，为每个输出分别进行自适应采样会增加计算成本，并存在数据不一致性的风险。现有的自适应准则（如 Novák 等人提出的基于方差的 $\Theta$ 准则）是针对单输出问题设计的，无法直接推广到向量值 QoIs，否则会牺牲效率或一致性。

方法论
本文提出了一种用于构建多输出 PCE 代理模型的广义自适应顺序采样策略。其核心方法是单输出 $\Theta$ 准则在多输出背景下的扩展。

1. 多输出 $\Theta$ 准则： 该方法通过最大化一个统一的准则，从候选池中选择新样本，该准则平衡了“开发”（针对高方差区域）与“探索”（确保空间覆盖）。该准则定义为：
   $$\Theta(\xi^{(c)}) = \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(c)})}{\max_{\xi^{(c)}_i \in S_c} \sigma^2_r(\xi^{(c)}_i)} \right)^{1/2} \times \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(s)})}{\max_{\xi^{(s)}_i \in S_s} \sigma^2_r(\xi^{(s)}_i)} \right)^{1/2} \times l_{c,s}^M$$
   其中：

   • $\xi^{(c)}$ 是候选点，$\xi^{(s)}$ 是其在当前实验设计中的最近邻点。
   • $\sigma^2_r(\xi)$ 代表第 $r$ 个输出在点 $\xi$ 处的局部方差贡献。
   • 前两项构成了跨所有输出的归一化方差聚合，利用几何平均值来防止在高维空间中仅因距离较大而被选中的具有微小方差的候选点。
   • $l_{c,s}$ 是候选点与其最近邻之间的欧几里得距离，作为探索项。
   • $M$ 是输入向量的维度。

2. 自适应过程： 该算法迭代地丰富实验设计。它从一个较小的初始设计开始，构建 PCE 代理模型，然后从最大化 $\Theta$ 准则的候选池中选择新点。该过程持续进行，直到满足停止准则或计算预算耗尽。

3. 评估指标： 其性能通过平均绝对误差（MAE）、最大绝对误差（$AE_{max}$）、相对方差误差（$\epsilon_{var}$）以及留一法（LOO）交叉验证误差（$Q^2$）进行评估。

主要贡献

• 自适应采样的泛化： 本文将顺序自适应采样框架推广到了多输出 PCE 代理模型，解决了为向量值响应构建单一且一致的实验设计的挑战。
• 归一化方差聚合： 引入了一种新型准则来聚合来自多个输出的方差贡献。该方法平衡了降低高方差区域不确定性（开发）与保持空间覆盖（探索）的需求。
• 处理输出异质性： 该方法考虑了不同输出可能具有不同水平的变异性和近似难度，避免了为每个输出单独采样带来的低效。

结果
所提方法通过三个数值算例进行了验证：

1. 2D 镜像线奇异性： 一个具有陡峭梯度和奇异性的合成函数。$\Theta$ 准则在 MAE 和相对方差误差方面表现出比拉丁超立方采样（LHS）更快的收敛速度。它有效地将样本集中在奇异曲线附近，捕捉到了均匀 LHS 设计所忽略的局部特征。该方法还显示出在重复试验中具有较低的变异性。
2. 钢筋混凝土梁： 一个涉及 15 个输出（弯矩和剪力）和 8 个随机变量的结构工程问题。与 LHS 相比，$\Theta$ 准则在最差预测误差（$AE_{max}$）方面达到了更高的精度，并在方差估计方面实现了更快的收敛。它保持了更窄的标准差带，表明具有更高的鲁棒性。
3. 海上风力机（OWT）： 分析了两种情况：风诱导弯矩和多物理场耦合位移。在这两个案例中，$\Theta$ 准则均提供了对最差误差更好的控制，并能更快地收敛到参考方差值。该方法在有限的采样预算下，在识别与极端响应相关的区域方面表现得尤为有效。

意义与主张
作者声称，所提出的多输出 $\Theta$ 准则为 PCE 代理建模中的自适应采样提供了一个实用且稳健的框架。这项工作的意义在于其能够：

• 在有限的计算预算下，提高多输出问题的代理模型精度和稳定性。
• 与 LHS 等静态采样方法相比，提供更可靠的二阶统计量（方差）估计。
• 减少多次运行结果之间的变异性，从而增强不确定性量化过程的鲁棒性。
• 高效识别高方差区域或极端响应区域，这对于复杂工程系统的可靠性分析和极限状态评估至关重要。

论文也承认了一些局限性，例如对预定义候选池的依赖（对于极高维问题，生成候选池可能在计算上非常昂贵），以及迭代稀疏回归更新可能带来的计算开销。建议未来的工作探索通过主成分分析（PCA）等技术进行显式的相关性处理，并将其与多元素 PCE 相结合。