Uncertainty Quantification of Engineering Structures by Polynomial Chaos Expansion and Multivariate Active Learning

Technische Samenvatting: Onzekerheidskwantificering van technische constructies door middel van Polynomiale Chaos Expansie en Multivariabele Actieve Leersstrategieën

Probleemstelling
In veel technische toepassingen genereren hoogwaardige numerieke modellen (bijv. eindige-elementenmodellen) gelijktijdig meerdere grootheden van belang (Quantities of Interest, QoI's) onder dezelfde invoerparameters. Onzekerheidskwantificering (Uncertainty Quantification, UQ) voor deze systemen vereist vaak talrijke modelevaluaties, wat computationeel prohibitief kan zijn. Om dit te mitigeren, worden surrogaatmodellen, specifiek Polynomiale Chaos Expansie (PCE), breed gebruikt. De nauwkeurigheid van een PCE-surrogaatmodel hangt echter sterk af van het experimenteel ontwerp (Experimental Design, ED), oftewel de set trainingsmonsters.

Traditionele statische bemonsteringsstrategieën (bijv. Latin Hypercube Sampling, Monte Carlo) selecteren alle punten a priori. Hoewel effectief voor eenvoudige gevallen, maken zij geen gebruik van de informatie uit eerder geëvalueerde monsters. Deze beperking is bijzonder acuut in problemen met meerdere outputs, waarbij verschillende outputs verschillende gevoeligheden, complexiteiten of gladheid kunnen vertonen over de invoerruimte. Een enkel statisch ontwerp is mogelijk niet in staat om alle outputs simultaan adequaat te representeren. Omgekeerd verhoogt het uitvoeren van aparte adaptieve bemonstering voor elke output de computationele kosten en brengt het risico op inconsistentie in de data met zich mee. Bestaande adaptieve criteria, zoals het variantiegebaseerde $\Theta$-criterium voorgesteld door Novák et al., zijn geformuleerd voor problemen met een enkele output en laten zich niet direct generaliseren naar vector-waardige QoI's zonder de efficiëntie of consistentie in gevaar te brengen.

Methodologie
Het artikel stelt een gegeneraliseerde adaptieve sequentiële bemonsteringsstrategie voor voor het construeren van multi-output PCE-surrogaatmodellen. De kern van de methode is een uitbreiding van het single-output $\Theta$-criterium naar een multi-output context.

1. Multi-Output $\Theta$-criterium: De methode selecteert nieuwe monsters uit een kandidaatpool door een verenigd criterium te maximaliseren dat een balans vindt tussen "exploitatie" (het targeten van regio's met een hoge variantie) en "exploratie" (het waarborgen van ruimtelijke dekking). Het criterium wordt gedefinieerd als:
   $$\Theta(\xi^{(c)}) = \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(c)})}{\max_{\xi^{(c)}_i \in S_c} \sigma^2_r(\xi^{(c)}_i)} \right)^{1/2} \times \left( \prod_{r=1}^{N_{out}} \frac{\sigma^2_r(\xi^{(s)})}{\max_{\xi^{(s)}_i \in S_s} \sigma^2_r(\xi^{(s)}_i)} \right)^{1/2} \times l_{c,s}^M$$
   Waarbij:

   • $\xi^{(c)}$ een kandidaatpunt is en $\xi^{(s)}$ de dichtstbijzijnde buur in het huidige ED.
   • $\sigma^2_r(\xi)$ de lokale variantiebijdrage van de $r$-de output op punt $\xi$ vertegenwoordigt.
   • De eerste twee termen een genormaliseerde variantie-aggregatie over alle outputs vormen, gebruikmakend van een geometrisch gemiddelde om te voorkomen dat kandidaten met een verwaarloosbare variantie in hoog-dimensionale ruimtes uitsluitend worden geselecteerd vanwege grote afstanden.
   • $l_{c,s}$ de Euclidische afstand is tussen de kandidaat en zijn dichtstbijzijnde buur, dienend als exploratieterm.
   • $M$ de dimensie van de invoervector is.

2. Adaptief Proces: Het algoritme verrijkt het ED iteratief. Het begint met een klein initiëel ontwerp, construeert een PCE-surrogaat, en selecteert vervolgens nieuwe punten uit een kandidaatpool die het $\Theta$-criterium maximaliseren. Dit proces gaat door totdat aan een stopcriterium wordt voldaan of het computationele budget is uitgeput.

3. Evaluatiemetrieken: De prestaties worden beoordeeld met behulp van de Mean Absolute Error (MAE), Maximum Absolute Error ($AE_{max}$), relatieve variantiefout ($\epsilon_{var}$) en de Leave-One-Out (LOO) cross-validatiefout ($Q^2$).

Belangrijkste Bijdragen

• Generalisatie van Adaptieve Bemonstering: Het artikel generaliseert het sequentiële adaptieve bemonsteringskader voor multi-output PCE, waarbij de uitdaging wordt aangepakt om één consistent ED te construeren voor vector-waardige responsen.
• Genormaliseerde Variantie-aggregatie: Een nieuw criterium wordt geïntroduceerd dat variantiebijdragen van meerdere outputs aggregeert. Deze aanpak balanceert de noodzaak om onzekerheid in regio's met een hoge variantie te verminderen (exploitatie) met de noodzaak om ruimtelijke dekking te handhaven (exploratie).
• Omgaan met Output-heterogeniteit: De methode houdt rekening met het feit dat verschillende outputs verschillende niveaus van variabiliteit en benaderingsmoeilijkheid kunnen hebben, waardoor de inefficiëntie van aparte bemonstering per output wordt vermeden.

Resultaten
De voorgestelde methode werd gevalideerd via drie numerieke voorbeelden:

1. 2D Spiegellijn Singulariteiten: Een synthetische functie met steile gradiënten en singulariteiten. Het $\Theta$-criterium demonstreerde een snellere convergentie in MAE en relatieve variantiefout vergeleken met Latin Hypercube Sampling (LHS). Het concentreerde de monsters effectief nabij de singuliere curven, waardoor lokale kenmerken werden gevangen die door uniforme LHS-ontwerpen werden gemist. De methode vertoonde ook een verminderde variabiliteit over herhaalde proeven.
2. Gewapte Betonbalk: Een structureel technisch probleem bestaande uit 15 outputs (buigmomenten en dwarskrachten) en 8 willekeurige variabelen. Het $\Theta$-criterium bereikte een superieure nauwkeurigheid in fouten van de slechtste voorspelling ($AE_{max}$) en een snellere convergentie in de schatting van de variantie vergeleken met LHS. Het behield een smallere standaarddeviatieband, wat wijst op een hogere robuustheid.
3. Offshore Windturbine (OWT): Twee gevallen werden geanalyseerd: wind-geïnduceerde buigmomenten en multiphysics-gekoppelde verplaatsingen. In beide gevallen bood het $\Theta$-criterium een betere controle over de fouten in de slechtste gevallen en convergeerde het sneller naar de referentiewaarden van de variantie. De methode bleek bijzonder effectief in het identificeren van regio's die geassocieerd zijn met extreme responsen onder beperkte bemonsteringsbudgetten.

Betekenis en Claims
De auteurs beweren dat het voorgestelde multi-output $\Theta$-criterium een praktisch en robuust kader biedt voor adaptieve bemonstering in PCE-surrogaatmodellering. De betekenis van het werk ligt in het vermogen om:

• De nauwkeurigheid en stabiliteit van surrogaatmodellen voor multi-output problemen te verbeteren onder beperkte computationele budgetten.
• Betrouwbaardere schattingen van tweede-orde statistieken (variantie) te bieden vergeleken met statische bemonsteringsmethoden zoals LHS.
• De variabiliteit van resultaten over herhaalde runs te verminderen, wat de robuustheid van het UQ-proces verhoogt.
• Efficiënt regio's met een hoge variantie of extreme responsen te identificeren, wat cruciaal is voor betrouwbaarheidsanalyse en limiettoestand-evaluatie in complexe technische systemen.

Het artikel erkent beperkingen, zoals de afhankelijkheid van een vooraf gedefinieerde kandidaatpool (die computationeel duur kan zijn om te genereren voor zeer hoog-dimensionale problemen) en de potentiële computationele overhead van iteratieve sparse regressie-updates. Toekomstig werk wordt gesuggereerd om expliciete correlatieverwerking via technieken zoals Principal Component Analysis (PCA) te verkennen en de integratie met multi-element PCE's.