Reply to Comment on "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Sintesi Tecnica: Risposta al Commento su "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta un commento critico di J. Sirker riguardante l'esistenza di transizioni di fase quantistiche dinamiche (DQPT) in dinamiche di stato misto soggette a rumore. Sirker sostiene che l'estensione dell'eco di Loschmidt da stati puri a stati misti non è univoca; nello specifico, quando definito tramite la fedeltà di Uhlmann-Bures di una matrice densità mediata sul rumore, le DQPT non possono avvenire per qualsiasi intensità di rumore finita. Gli autori di questa risposta chiariscono che il loro lavoro originale (Rif. [4]) non utilizzava la fedeltà di Uhlmann-Bures per stati misti. Al contrario, impiegava un protocollo distinto, definito operativamente. Il problema centrale è dimostrare che il teorema "no-DQPT" stabilito per il tasso di ritorno di Uhlmann-Bures non si applica all'osservabile operativo specifico analizzato nel Rif. [4], risolvendo così l'apparente contraddizione.

Metodologia
Gli autori distinguono tra due procedure primarie di media del rumore per osservabili di tipo Loschmidt e definiscono il proprio protocollo come un terzo approccio distinto:

1. Procedure Standard: Il documento esamina (i) la media su singole realizzazioni del rumore (che annulla le non-analiticità) e (ii) la media sulla rampa rumorosa per produrre uno stato misto $\rho_k(t_f)$, seguito da un calcolo della fedeltà di Uhlmann-Bures (che non produce DQPT per rumore finito).
2. Protocollo Operativo (Rif. [4]): Gli autori reiterano la loro specifica metodologia:
   • Fase 1 (Rampa Rumorosa): Il rumore agisce solo durante la rampa da $t_i$ a $t_f$. Il sistema evolve secondo un'equazione master, risultando in uno stato misto $\rho_k(t_f)$.
   • Fase 2 (Post-Rampa Coerente): Invece di calcolare direttamente il tasso di ritorno dallo stato misto, gli autori costruiscono uno stato puro $|\psi_k(0)\rangle$ a $t=0$ le cui popolazioni corrispondono alle probabilità di eccitazione medie sul rumore ($p_k$) derivate dall'equazione master.
   • Evoluzione: Questo stato puro viene evoluto coerentemente sotto l'Hamiltoniana post-rampa priva di rumore $H_f$.
   • Osservabile: Il tasso di ritorno è calcolato come il logaritmo dell'eco di Loschmidt di questa evoluzione coerente.

Per validare il contenuto fisico di questo protocollo, gli autori eseguono un'analisi di Landau-Zener. Essi dimostrano esplicitamente che la probabilità di eccitazione $p_k$, utilizzata per costruire lo stato puro, non è meramente una popolazione classica ma dipende sia dagli elementi diagonali che da quelli off-diagonali della matrice densità nella base diabaticità. Ciò è dimostrato tramite una trasformazione unitaria alla base adiabatica, provando che $p_k$ codifica l'informazione di coerenza.

Contributi Chiave e Risultati

• Chiarificazione della Tassonomia: Il documento stabilisce che l'osservabile nel Rif. [4] appartiene a una classe diversa di osservabili di tipo Loschmidt rispetto alla fedeltà di Uhlmann-Bures. Il teorema "no-DQPT" dimostrato per quest'ultima è, pertanto, inapplicabile alla prima.
• Condizione di Non-analiticità: All'interno del protocollo operativo, l'energia libera dinamica (tasso di ritorno) è data da:
  $$g(t) = -\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi dk \ln \left[ 1 - 4 p_k(1 - p_k) \sin^2(\epsilon_k^f t) \right]$$
  Le non-analiticità (DQPT) emergono quando esiste un momento $k^*$ tale che la probabilità di eccitazione mediata sul rumore $p_{k^*} = 1/2$.
• Ritenzione della Coerenza: Attraverso l'analisi di Landau-Zener, gli autori confutano l'affermazione secondo cui il loro protocollo sarebbe "cieco" alla coerenza. Essi mostrano che $p_k$ è una funzione degli elementi off-diagonal della matrice densità nella base diabaticità, garantendo che il protocollo operativo mantenga l'informazione della coerenza quantistica nonostante l'uso di una rappresentazione a stato puro per l'evoluzione post-rampa.
• Motivazione Sperimentale: Il protocollo è motivato dalla fattibilità sperimentale in sistemi a due livelli ingegnerizzati e simulatori quantistici, dove le probabilità di eccitazione risolte per modo sono direttamente misurabili. Il tasso di ritorno corrisponde a un segnale interferometrico generato dalla seconda fase coerente del protocollo.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento conclude che non esiste una contraddizione diretta tra il teorema del Commento e le conclusioni del Rif. [4]. Gli autori affermano che:

1. Il Commento prova correttamente l'assenza di DQPT per il tasso di ritorno di stato misto di Uhlmann-Bures.
2. Tuttavia, questo teorema non invalida i risultati del Rif. [4], che ha investigato un protocollo operativo diverso e motivato sperimentalmente basato su stati puri che preservano le popolazioni.
3. All'interno di questo specifico quadro operativo, le DQPT (non-analiticità nel tasso di ritorno) possono avvenire e avvengono effettivamente.
4. Il quadro fisico delle transizioni di fase dinamiche nel Rif. [4] è ulteriormente supportato dal lavoro teorico indipendente (Rif. [19]) che utilizza la fedeltà ridotta, rinforzando la validità dell'approccio operativo.

Gli autori sostengono che il loro lavoro fornisce una definizione operativa valida per studiare le DQPT in ambienti rumorosi, distinta dalle definizioni basate sulla fedeltà che precludono tali transizioni.