Reply to Comment on "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

技术摘要：针对“噪声猝灭下动力学量子相变及其普适性”评论的回应

问题陈述
本文旨在回应 J. Sirker 关于在噪声、混合态动力学中是否存在动力学量子相变（DQPT）的批判性评论。Sirker 认为，将洛施密特回声（Loschmidt echo）从纯态扩展到混合态并不具有唯一性；具体而言，当通过噪声平均后的密度矩阵的 Uhlmann-Bures 保真度来定义时，对于任何有限强度的噪声，都不会发生 DQPT。本文作者在回复中澄清，其原始工作（文献 [4]）并未采用 Uhlmann-Bures 混合态保真度，而是采用了一种截然不同的、具有操作定义的方案。核心问题在于证明：针对 Uhlmann-Bures 回归率所建立的“无 DQPT”定理，并不适用于文献 [4] 中所分析的特定操作观测量，从而消除表观上的矛盾。

方法论
作者区分了两种主要的洛施密特型观测量的噪声平均程序，并定义了他们自己的方案作为第三种截然不同的方法：

1. 标准程序： 文中回顾了 (i) 对单次噪声实现进行平均（这会抹除非解析性）以及 (ii) 对噪声化的斜率（ramp）进行平均以产生混合态 $\rho_k(t_f)$，随后进行 Uhlmann-Bures 保真度计算（这在有限噪声下不会产生 DQPT）。
2. 操作协议（文献 [4]）： 作者重申了其特定的方法论：
   • 阶段 1（噪声斜率）： 噪声仅在从 $t_i$ 到 $t_f$ 的斜率阶段起作用。系统根据主方程演化，产生一个混合态 $\rho_k(t_f)$。
   • 阶段 2（斜率后相干演化）： 作者并非直接从混合态计算回归率，而是构造一个在 $t=0$ 时刻（斜率后）的纯态 $|\psi_k(0)\rangle$，其布居数与基于主方程得到的噪声平均激发概率（$p_k$）相匹配。
   • 演化： 该纯态在无噪声的斜率后哈密顿量 $H_f$ 下进行相干演化。
   • 观测量： 通过计算该相干演化的洛施密特回声的对数来得到回归率。

为了验证该协议的物理内容，作者进行了 Landau-Zener 分析。他们明确证明，用于构造纯态的激发概率 $p_k$ 不仅仅是一个经典布居数，它还取决于对角基底下的非对角元素。通过向绝热基底进行幺正变换，这一点得到了证实，证明了 $p_k$ 编码了相干信息。

主要贡献与结果

• 分类澄清： 本文确立了文献 [4] 中的观测量属于不同于 Uhlmann-Bures 保真度的洛施密特类观测量。因此，针对后者的“无 DQPT”定理并不适用于前者。
• 非解析性条件： 在该操作协议内，动力学自由能（回归率）由下式给出：
  $$g(t) = -\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi dk \ln \left[ 1 - 4 p_k(1 - p_k) \sin^2(\epsilon_k^f t) \right]$$
  当存在动量 $k^*$ 使得噪声平均激发概率 $p_{k^*} = 1/2$ 时，会出现非解析性（DQPT）。
• 相干性保留： 通过 Landau-Zener 分析，作者反驳了关于其协议对相干性“盲目”的说法。他们表明 $p_k$ 是对角基底下密度矩阵非对角元素的函数，确保了尽管在斜率后演化中使用纯态表示，该操作协议仍保留了量子相干信息。
• 实验动机： 该协议的动机源于工程化双能级系统和量子模拟器中的实验可行性，在这些系统中，模态分辨的激发概率是可直接测量的。回归率对应于由第二阶段（相干阶段）产生的干涉信号。

意义与主张
论文得出结论，评论中的定理与文献 [4] 的结论之间不存在直接矛盾。作者断言：

1. 评论正确证明了对于 Uhlmann-Bures 混合态回归率，不存在 DQPT。
2. 然而，该定理并未使文献 [4] 的发现失效，因为后者研究的是一种基于布居数保持纯态的不同且具有实验动机的操作协议。
3. 在该特定的操作框架内，DQPT（回归率的非解析性）可以且确实会发生。
4. 文献 [4] 中的动力学相结构物理图景得到了独立理论工作（文献 [19]）使用约化保真度（reduced fidelity）的进一步支持，从而强化了该操作方案的有效性。

作者坚持认为，他们提供了一种用于研究噪声环境下 DQPT 的有效操作定义，这与排除此类相变的基于保真度的定义是不同的。