Reply to Comment on "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Resumo Técnico: Resposta ao Comentário sobre "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Definição do Problema
Este artigo aborda um comentário crítico de J. Sirker referente à existência de transições de fase quânticas dinâmicas (DQPTs) em dinâmicas de estados mistos ruidosos. Sirker argumenta que a extensão do eco de Loschmidt de estados puros para mistos não é única; especificamente, quando definido via a fidelidade de Uhlmann-Bures de uma matriz densidade média pelo ruído, as DQPTs não podem ocorrer para qualquer intensidade de ruído finita. Os autores desta resposta esclarecem que o trabalho original (Ref. [4]) não utilizou a fidelidade de estado misto de Uhlmann-Bures. Em vez disso, empregaram um protocolo distinto e operacionalmente definido. O problema central é demonstrar que o teorema "no-DQPT" estabelecido para a taxa de retorno de Uhlmann-Bures não se aplica ao observável operacional específico analisado na Ref. [4], resolvendo assim a contradição aparente.

Metodologia
Os autores distinguem entre dois procedimentos primários de média de ruído para observáveis do tipo Loschmidt e definem seu próprio protocolo como uma terceira abordagem distinta:

1. Procedimentos Padrão: O artigo revisa (i) a média sobre realizações individuais de ruído (que elimina não-analyticidades) e (ii) a média sobre o rampa ruidosa para produzir um estado misto $\rho_k(t_f)$, seguido por um cálculo de fidelidade de Uhlmann-Bures (que resulta em nenhuma DQPT para ruído finito).
2. Protocolo Operacional (Ref. [4]): Os autores reiteram sua metodologia específica:
   • Estágio 1 (Rampa Ruidosa): O ruído atua apenas durante a rampa de $t_i$ até $t_f$. O sistema evolui de acordo com uma equação mestre, resultando em um estado misto $\rho_k(t_f)$.
   • Estágio 2 (Pós-Rampa Coerente): Em vez de calcular a taxa de retorno diretamente a partir do estado misto, os autores constroem um estado puro $|\psi_k(0)\rangle$ em $t=0$ cujas populações coincidem com as probabilidades de excitação médias pelo ruído ($p_k$) derivadas da equação mestre.
   • Evolução: Este estado puro é evoluído coerentemente sob o Hamiltoniano pós-rampa sem ruído $H_f$.
   • Observável: A taxa de retorno é calculada como o logaritmo do eco de Loschmidt desta evolução coerente.

Para validar o conteúdo físico deste protocolo, os autores realizam uma análise de Landau-Zener. Eles demonstram explicitamente que a probabilidade de excitação $p_k$, usada para construir o estado puro, não é meramente uma população clássica, mas depende de elementos tanto diagonais quanto off-diagonais da matriz densidade na base diabática. Isso é mostrado via uma transformação unitária para a base adiabática, provando que $p_k$ codifica informação de coerência.

Principais Contribuições e Resultados

• Esclarecimento da Taxonomia: O artigo estabelece que o observável na Ref. [4] pertence a uma classe diferente de observáveis do tipo Loschmidt do que a fidelidade de Uhlmann-Bures. O teorema "no-DQPT" provado para esta última é, portanto, inaplicável à primeira.
• Condição de Não-analyticidade: Dentro do protocolo operacional, a energia livre dinâmica (taxa de retorno) é dada por:
  $$g(t) = -\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi dk \ln \left[ 1 - 4 p_k(1 - p_k) \sin^2(\epsilon_k^f t) \right]$$
  Não-analyticidades (DQPTs) surgem quando existe um momento $k^*$ tal que a probabilidade de excitação média pelo ruído é $p_{k^*} = 1/2$.
• Retenção de Coerência: Através da análise de Landau-Zener, os autores refutam a afirmação de que seu protocolo é "cego" à coerência. Eles mostram que $p_k$ é uma função dos elementos off-diagonais da matriz densidade na base diabática, garantindo que o protocolo operacional retenha a informação de coerência quântica, apesar de usar uma representação de estado puro para a evolução pós-rampa.
• Motivação Experimental: O protocolo é motivado pela viabilidade experimental em sistemas de dois níveis engenheirados e simuladores quânticos, onde as probabilidades de excitação resolvidas por modo são diretamente mensuráveis. A taxa de retorno corresponde a um sinal interferométrico gerado pelo segundo estágio coerente do protocolo.

Significância e Alegações
O artigo conclui que não há contradição direta entre o teorema do Comentário e as conclusões da Ref. [4]. Os autores afirmam que:

1. O Comentário prova corretamente a ausência de DQPTs para a taxa de retorno de estado misto de Uhlmann-Bures.
2. No entanto, este teorema não invalida as descobertas da Ref. [4], que investigou um protocolo operacional distinto e motivado experimentalmente baseado em estados puros que preservam a população.
3. Dentro deste quadro operacional específico, as DQPTs (não-analyticidades na taxa de retorno) podem e de fato ocorrem.
4. O quadro físico da estrutura de fase dinâmica na Ref. [4] é reforçado por um trabalho teórico independente (Ref. [19]) usando fidelidade reduzida, reforçando a validade da abordagem operacional.

Os autores sustentam que seu trabalho fornece uma definição operacional válida para estudar DQPTs em ambientes ruidosos, distinta das definições baseadas em fidelidade que impedem tais transições.