Reply to Comment on "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

기술 요약: "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"에 대한 논평에 대한 답변

문제 제기
본 논문은 노이즈가 있는 혼합 상태 역학(mixed-state dynamics)에서 동적 양자 상전이(DQPT)의 존재 여부에 관한 J. Sirker의 비판적 논평을 다룬다. Sirker는 노이즈가 섞인 상태로 로스치트드 에코(Loschmidt echo)를 확장하는 방식이 유일하지 않다고 주장한다. 구체적으로, 노이즈가 평균화된 밀도 행렬에 대한 Uhlmann-Bures 충실도(fidelity)를 통해 정의될 경우, 유한한 노이즈 강도에서는 DQPT가 발생할 수 없다고 주장한다. 본 답변의 저자들은 자신들의 원래 연구(Ref. [4])가 Uhlmann-Bures 혼합 상태 충실도를 사용하지 않았음을 명확히 한다. 대신, 그들은 별도의 조작적(operational)으로 정의된 프로토콜을 사용하였다. 본 논문의 핵심 과제는 Uhlmann-Bures 복귀율(return rate)에 대해 확립된 "no-DQPT" 정리가 Ref. [4]에서 분석된 특정 조작적 관측량에는 적용되지 않음을 입증하여, 나타나는 모순을 해결하는 것이다.

방법론
저자들은 로스치드 유형의 관측량에 대한 두 가지 주요 노이즈 평균화 절차를 구분하고, 자신들의 프로토콜을 세 번째의 별개 접근법으로 정의한다:

1. 표준 절차: 논문은 (i) 단일 노이즈 실현에 대한 평균화(이는 비해석성을 상쇄함)와 (ii) 노이즈가 있는 램프(ramp)에 대해 평균을 내어 혼합 상태 $\rho_k(t_f)$를 생성한 후 Uhlmann-Bures 충실도를 계산하는 방식(유한한 노이즈에서 DQPT를 발생시키지 않음)을 검토한다.
2. 조작적 프로토콜 (Ref. [4]): 저자들은 자신들의 구체적인 방법론을 재차 강조한다:
   • 1단계 (노이즈가 있는 램프): 노이즈는 $t_i$에서 $t_f$까지의 램프 구간 동안에만 작용한다. 시스템은 마스터 방정식에 따라 진화하며, 그 결과로 혼의 상태 $\rho_k(t_f)$가 생성된다.
   • 2단계 (포스트-램프 코히어런트 진화): 혼합 상태로부터 직접 복귀율을 계산하는 대신, 저자들은 마스터 방정식으로부터 도출된 노이즈 평균 들뜸 확률($p_k$)과 인구 분포(populations)가 일치하는 $t=0$ 시점의 순수 상태 $|\psi_k(0)\rangle$를 구성한다.
   • 진화: 이 순수 상태는 노이즈가 없는 포스트-램프 해밀토니안 $H_f$ 하에서 코히어런트하게 진화한다.
   • 관측량: 이 코히어런트 진화의 로스치트드 에코의 로그값으로 복귀율을 계산한다.

이 프로토콜의 물리적 내용을 검증하기 위해, 저자들은 란다우-제너(Landau-Zener) 분석을 수행한다. 저자들은 순수 상태를 구성하는 데 사용되는 들뜸 확률 $p_k$가 단순한 고전적 인구 분포가 아니라, 디아바틱(diabatic) 기저에서의 대각 성분과 비대각 성분 모두에 의존함을 명시적으로 입증한다. 이는 아디아바틱 기저로의 유니터리 변환을 통해 보여지며, $p_k$가 코히어런스 정보를 인코딩하고 있음을 증명한다.

주요 기여 및 결과

• 분류의 명확화: 본 논문은 Ref. [4]의 관측량이 Uhlmann-Bures 충실도와는 다른 범주의 로스치드 유형 관측량에 속함을 확립한다. 따라서 후자에 대해 증명된 "no-DQPT" 정리는 전자에 적용될 수 없다.
• 비해석성 조건: 조작적 프로토콜 내에서 동적 자유 에너지(복귀율)는 다음과 같이 주어진다:
  $$g(t) = -\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi dk \ln \left[ 1 - 4 p_k(1 - p_k) \sin^2(\epsilon_k^f t) \right]$$
  비해석성(DQPT)은 어떤 운동량 $k^*$에 대해 노이즈 평균 들뜸 확률 $p_{k^*} = 1/2$이 존재할 때 발생한다.
• 코히어런스 유지: 란다우-제너 분석을 통해, 저자들은 자신들의 프로토콜이 코히어런스에 "맹목적"이라는 주장을 반박한다. 저자들은 $p_k$가 디아바틱 기저에서의 비대각 밀도 행렬 요소의 함수임을 보여줌으로써, 조작적 프로토콜이 포스트-램프 진화를 위해 순수 상태 표현을 사용함에도 불구하고 양자 코히어런스 정보를 유지하고 있음을 보여준다.
• 실험적 동기: 이 프로토콜은 모드별로 분해된 들뜸 확률을 직접 측정할 수 있는, 설계된 2준위 계 및 양자 시뮬레이터에서 실험적 구현 가능성에 의해 동기 부여되었다. 복귀율은 두 번째의 코히어런트 단계에 의해 생성되는 간섭계 신호에 해당한다.

의의 및 주장
본 논문은 Comment의 정리와 Ref. [4]의 결론 사이에 직접적인 모순이 없다고 결론짓는다. 저자들은 다음과 같이 주장한다:

1. Comment는 Uhlmann-Bures 혼합 상태 복귀율에 대한 DQPT의 부재를 올바르게 증명하였다.
2. 그러나 이 정리는 인구 보존 순수 상태를 기반으로 한, 실험적으로 동기 부여된 다른 조작적 프로토콜을 조사한 Ref. [4]의 결과들을 무효화하지 않는다.
3. 이 특정 조작적 프레임워크 내에서, DQPT(복귀율의 비해석성)는 발생할 수 있으며 실제로 발생한다.
4. Ref. [4]의 동적 상 구조에 대한 물리적 그림은 축소된 충실도(reduced fidelity)를 사용하는 독립적인 이론 연구(Ref. [19])에 의해 더욱 뒷받받되며, 이는 조작적 접근 방식의 타당성을 강화한다.

저자들은 자신들의 연구가 DQPT를 연구하기 위한 유효한 조작적 정의를 제공하며, 이는 DQPT를 배제하는 충실도 기반의 정의와는 구별된다는 입장을 유지한다.