Reply to Comment on "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Technische Zusammenfassung: Antwort auf den Kommentar zu „Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions“

Problemstellung
Diese Arbeit setzt sich mit einem kritischen Kommentar von J. Sirker bezüglich der Existenz dynamischer Quantenphasenübergänge (DQPTs) in verrauschten, gemischten Zustandsdynamiken auseinander. Sirker argumentiert, dass die Erweiterung des Loschmidt-Echos von reinen auf gemischte Zustände nicht eindeutig ist; insbesondere gilt: Wenn das Echo über die Uhlmann-Bres-Fidelität einer rauschgemittelten Dichtematrix definiert wird, können DQPTs für jede endliche Rauschintensität nicht auftreten. Die Autoren dieser Antwort stellen klar, dass ihre ursprüngliche Arbeit (Ref. [4]) nicht die Uhlmann-Bres-Fidelität für gemischte Zustände verwendete. Stattdessen wurde ein anderes, operational definiertes Protokoll angewandt. Das zentrale Problem besteht darin, zu zeigen, dass das „No-DQPT“-Theorem, das für die Uhlmann-Bres-Rückkehrrate etabliert wurde, nicht für die in Ref. [4] analysierte spezifische operationale Observablen gilt, wodurch der scheinbare Widerspruch aufgelöst wird.

Methodik
Die Autoren unterscheiden zwischen zwei primären Verfahren zur Rauschmittelung von Loschmidt-Typ-Observablen und definieren ihr eigenes Protokoll als einen dritten, eigenständigen Ansatz:

1. Standardverfahren: Die Arbeit untersucht (i) die Mittelung über einzelne Rauschrealisierungen (was Nichtanalytizitäten auslöscht) und (ii) die Mittelung über den verrauschten Ramp, um einen gemischten Zustand $\rho_k(t_f)$ zu erzeugen, gefolgt von einer Uhlmann-Bres-Fidelitätsberechnung (was für endliches Rauschen keine DQPTs liefert).
2. Operationales Protokoll (Ref. [4]): Die Autoren wiederholen ihre spezifische Methodik:
   • Stufe 1 (Verrauschter Ramp): Das Rauschen wirkt nur während des Ramps von $t_i$ bis $t_f$. Das System entwickelt sich gemäß einer Mastergleichung, was zu einem gemischten Zustand $\rho_k(t_f)$ führt.
   • Stufe 2 (Kohärenter Post-Ramp): Anstatt die Rückkehrrate direkt aus dem gemischten Zustand zu berechnen, konstruieren die Autoren einen reinen Zustand $|\psi_k(0)\rangle$ bei $t=0$ (nach dem Ramp), dessen Besetzungswahrscheinlichkeiten den rauschgemittelten Anregungswahrscheinlichkeiten ($p_k$) entsprechen, die aus der Mastergleichung abgeleitet wurden.
   • Entwicklung: Dieser reine Zustand wird kohärent unter dem rauschfreien Post-Ramp-Hamiltonian $H_f$ entwickelt.
   • Observable: Die Rückkehrrate wird als Logarithmus des Loschmidt-Echos dieser kohärenten Entwicklung berechnet.

Um den physikalischen Gehalt dieses Protokolls zu validieren, führen die Autoren eine Landau-Zener-Analyse durch. Sie zeigen explizit, dass die Anregungswahrscheinlichkeit $p_k$, die zur Konstruktion des reinen Zustands verwendet wird, nicht bloß eine klassische Besetzung ist, sondern sowohl von diagonalen als auch von Nebendiagonalenlementen der Dichtematrix in der adiabatischen Basis abhängt. Dies wird durch eine unitäre Transformation zur adiabatischen Basis gezeigt, was beweist, dass $p_k$ Kohärenzinformationen kodiert.

Zentrale Beiträge und Ergebnisse

• Klassifizierungsklärung: Die Arbeit stellt fest, dass die Observable in Ref. [4] einer anderen Klasse von Loschmidt-Typ-Observablen angehört als die Uhlmann-Bres-Fidelität. Das „No-DQPT“-Theorem, das für letztere bewiesen wurde, ist daher auf erstere nicht anwendbar.
• Bedingung für Nichtanalytizität: Innerhalb des operationalen Protokolls wird die dynamische freie Energie (Rückkehrrate) gegeben durch:
  $$g(t) = -\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi dk \ln \left[ 1 - 4 p_k(1 - p_k) \sin^2(\epsilon_k^f t) \right]$$
  Nichtanalytizitäten (DQPTs) treten auf, wenn es ein Impuls $k^*$ gibt, so dass die rauschgemittelte Anregungswahrscheinlichkeit $p_{k^*} = 1/2$ ist.
• Erhalt der Kohärenz: Durch die Landau-Zener-Analyse widerlegen die Autoren die Behauptung, ihr Protokoll sei „blind“ gegenüber Kohärenz. Sie zeigen, dass $p_k$ eine Funktion der Nebendiagonalelemente der Dichtematrix in der diabatischen Basis ist, was sicherstellt, dass das operationale Protokoll trotz der Verwendung einer Reinzustandsrepräsentation für die Post-Ramp-Entwicklung Quantenkohärenzinformationen beibehält.
• Experimentelle Motivation: Das Protokoll wird durch die experimentelle Durchführbarkeit in technisierten Zwei-Niveau-Systemen und Quantensimulatoren motiviert, in denen modenaufgelöste Anregungswahrscheinlichkeiten direkt messbar sind. Die Rückkehrrate entspricht einem interferometrischen Signal, das durch die zweite, kohärente Stufe des Protokolls erzeugt wird.

Bedeutung und Ansprüche
Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass kein direkter Widerspruch zwischen dem Theorem des Kommentars und den Schlussfolgerungen von Ref. [4] besteht. Sie behaupten:

1. Der Kommentar beweist korrekt die Abwesenheit von DQPTs für die Uhlmann-Bres-gemischte-Zustand-Rückkehrrate.
2. Dieses Theorem entwertet jedoch nicht die Ergebnisse von Ref. [4], welche ein anderes, experimentell motiviertes operationales Protokoll basierend auf besetzungserhaltenden reinen Zuständen untersuchten.
3. Innerhalb dieses spezifischen operationalen Rahmens können und treten DQPTs (Nichtanalytizitäten in der Rückkehrrate) auf.
4. Das physikalische Bild der dynamischen Phasenstruktur in Ref. [4] wird durch unabhängige theoretische Arbeit (Ref. [19]) gestützt, die eine reduzierte Fidelität verwendet, was die Validität des operationalen Ansatzes verstärkt.

Die Autoren halten fest, dass ihre Arbeit eine gültige operationale Definition zur Untersuchung von DQPTs in verrauschten Umgebungen liefert, die sich von den fidelitätsbasierten Definitionen unterscheidet, welche solche Übergänge ausschließen.