Reply to Comment on "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Resumen Técnico: Respuesta al Comentario sobre "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda un comentario crítico de J. Sirker con respecto a la existencia de transiciones de fase cuánticas dinámicas (DQPTs) en la dinámica de estados mixtos con ruido. Sirker argumenta que la extensión del eco de Loschmidt de estados puros a estados mixtos no es única; específicamente, cuando se define mediante la fidelidad de Uhlmann-Bures de una matriz de densidad promediada por el ruido, las DQPTs no pueden ocurrir para cualquier intensidad de ruido finita. Los autores de esta respuesta aclaran que su trabajo original (Ref. [4]) no utilizó la fidelidad de estado mixto de Uhlmann-Bures. En su lugar, emplearon un protocolo distinto y operativamente definido. El problema central es demostrar que el teorema de "no-DQPT" establecido para la tasa de retorno de Uhlmann-Bures no se aplica al observable operacional específico analizado en la Ref. [4], resolviendo así la aparente contradicción.

Metodología
Los autores distinguen entre dos procedimientos primarios de promediado de ruido para observables de tipo Loschmidt y definen su propio protocolo como un tercer enfoque distinto:

1. Procedimientos Estándar: El artículo revisa (i) el promediado sobre realizaciones de ruido individuales (que elimina las no analyticidades) y (ii) el promediado sobre la rampa con ruido para producir un estado mixto $\rho_k(t_f)$, seguido de un cálculo de fidelidad de Uhlmann-Bures (que no produce DQPTs para ruido finito).
2. Protocolo Operacional (Ref. [4]): Los autores reiteran su metodología específica:
   • Etapa 1 (Rampa con Ruido): El ruido actúa únicamente durante la rampa desde $t_i$ hasta $t_f$. El sistema evoluciona según una ecuación maestra, resultando en un estado mixto $\rho_k(t_f)$.
   • Etapa 2 (Post-Rampa Coherente): En lugar de calcular directamente la tasa de retorno a partir del estado mixto, los autores construyen un estado puro $|\psi_k(0)\rangle$ en $t=0$ (post-rampa) cuyas poblaciones coinciden con las probabilidades de excitación promediadas por el ruido ($p_k$) derivadas de la ecuación maestra.
   • Evolución: Este estado puro evoluciona coherentemente bajo el Hamiltoniano post-rampa sin ruido $H_f$.
   • Observable: La tasa de retorno se calcula como el logaritmo del eco de Loschmidt de esta evolución coherente.

Para validar el contenido físico de este protocolo, los autores realizan un análisis de Landau-Zener. Demuestran explícitamente que la probabilidad de excitación $p_k$, utilizada para construir el estado puro, no es meramente una población clásica, sino que depende tanto de los elementos diagonales como de los fuera de la diagonal de la matriz de densidad en la base diabática. Esto se demuestra mediante una transformación unitaria a la base adiabática, probando que $p_k$ codifica información de coherencia.

Contribuciones Clave y Resultados

• Clarificación de la Taxonomía: El artículo establece que el observable en la Ref. [4] pertenece a una clase diferente de observables de tipo Loschmidt que la fidelidad de Uhlmann-Bures. Por lo tanto, el teorema de "no-DQPT" probado para esta última es inaplicable al primero.
• Condición de No Analiticidad: Dentro del protocolo operacional, la energía libre dinámica (tasa de retorno) viene dada por:
  $$g(t) = -\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi dk \ln \left[ 1 - 4 p_k(1 - p_k) \sin^2(\epsilon_k^f t) \right]$$
  Las no analiticidades (DQPTs) surgen cuando existe un momento $k^*$ tal que la probabilidad de excitación promediada por el ruido $p_{k^*} = 1/2$.
• Retención de Coherencia: A través del análisis de Landau-Zener, los autores refutan la afirmación de que su protocolo es "ciego" a la coherencia. Muestran que $p_k$ es una función de los elementos fuera de la diagonal de la matriz de densidad en la base diabática, asegurando que el protocolo operacional retiene la información de coherencia cuántica a pesar de utilizar una representación de estado puro para la evolución post-rampa.
• Motivación Experimental: El protocolo está motivado por la viabilidad experimental en sistemas de dos niveles diseñados y simuladores cuánticos, donde las probabilidades de excitación resueltas por modo son directamente medibles. La tasa de retorno corresponde a una señal interferométrica generada por la segunda etapa coherente del protocolo.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo concluye que no existe una contradicción directa entre el Comentario y las conclusiones de la Ref. [4]. Los autores afirman que:

1. El Comentario prueba correctamente la ausencia de DQPTs para la tasa de retorno de estado mixto de Uhlmann-Bures.
2. Sin embargo, este teorema no invalida los hallazgos de la Ref. [4], que investigó un protocolo operacional distinto y motivado experimentalmente basado en estados puros que preservan la población.
3. Dentro de este marco operacional específico, las DQPTs (no analiticidades en la tasa de retorno) pueden y sí ocurren.
4. La imagen física de la estructura de fase dinámica en la Ref. [4] es apoyada adicionalmente por el trabajo teórico independiente (Ref. [19]) utilizando fidelidad reducida, reforzando la validez del enfoque operacional.

Los autores sostienen que su trabajo proporciona una definición operacional válida para estudiar las DQPTs en entornos con ruido, distinta de las definiciones basadas en la fidelidad que imposibilitan tales transiciones.