Reply to Comment on "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Technische Samenvatting: Reactie op Commentaar op "Scaling and universality at noisy quench dynamical quantum phase transitions"

Probleemstelling
Dit artikel behandelt een kritisch commentaar van J. Sirker met betrekking tot het bestaan van dynamische kwantumfaseovergangen (DQPT's) in ruisgevoelige, gemengde toestandsdynamica. Sirker beargumenteert dat het uitbreiden van de Loschmidt-echo van zuivere naar gemengde toestanden niet uniek is; specifiek, wanneer deze gedefinieerd wordt via de Uhlmann-Bures-fidelity van een ruisgemiddelde dichtheidsmatrix, kunnen DQPT's niet optreden bij een eindige ruisintensiteit. De auteurs van deze reactie verduidelijken dat hun oorspronkelijke werk (Ref. [4]) niet de Uhlmann-Bures gemengde-toestand-fidelity heeft gebruikt. In plaats daarvan hanteerden zij een afzonderlijk, operationeel gedefinieerd protocol. Het centrale probleem is om aan te tonen dat het "geen-DQPT"-theorema dat is vastgesteld voor de Uhlmann-Bures return rate, niet van toepassing is op de specifieke operationele observabele die in Ref. [4] werd geanalyseerd, waardoor de schijnbare tegenstrijdigheid wordt opgelost.

Methodologie
De auteurs maken onderscheid tussen twee primaire ruis-gemiddelde procedures voor Loschmidt-type observabelen en definiëren hun eigen protocol als een derde, afzonderlijke benadering:

1. Standaardprocedures: Het artikel bespreekt (i) middeling over enkelvoudige ruisrealisaties (wat niet-analyticiteiten uitwist) en (ii) middeling over de ruisgevoelige ramp om een gemengde toestand $\rho_k(t_f)$ te produceren, gevolgd door een berekening van de Uhlmann-Bures-fidelity (wat geen DQPT's oplevert voor eindige ruis).
2. Operationeel Protocol (Ref. [4]): De auteurs herhalen hun specifieke methodologie:
   • Fase 1 (Ruisgevoelige Ramp): Ruis werkt alleen tijdens de ramp van $t_i$ naar $t_f$. Het systeem evolueert volgens een meestervergelijking, wat resulteert in een gemengde toestand $\rho_k(t_f)$.
   • Fase 2 (Coherente Post-Ramp): In plaats van de return rate direct te berekenen vanuit de gemengde toestand, construeren de auteurs een zuivere toestand $|\psi_k(0)\rangle$ bij $t=0$ waarvan de populaties overeenkomen met de ruisgemiddelde excitatiekansen ($p_k$) afgeleid uit de meestervergelijking.
   • Evolutie: Deze zuivere toestand evolueert coherent onder de ruisvrije post-ramp Hamiltoniaan $H_f$.
   • Observabele: De return rate wordt berekend als de logaritme van de Loschmidt-echo van deze coherente evolutie.

Om de fysieke inhoud van dit protocol te valideren, voeren de auteurs een Landau-Zener-analyse uit. Zij tonen expliciet aan dat de excitatiekans $p_k$, gebruikt voor de constructie van de zuivere toestand, niet louter een klassieke populatie is, maar afhankelijk is van zowel diagonale als off-diagonale elementen van de dichtheidsmatrix in de diabatische basis. Dit wordt aangetoond via een unitaire transformatie naar de adiabatische basis, wat bewijst dat $p_k$ coherentie-informatie bevat.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Taxonomie Verheldering: Het artikel stelt vast dat de observabele in Ref. [4] tot een andere klasse van Loschmidt-type observabelen behoort dan de Uhlmann-Bures-fidelity. Het "geen-DQPT"-theorema dat bewezen is voor de laatste, is daarom niet van toepassing op de eerste.
• Voorwaarde voor Niet-analyticiteit: Binnen het operationele protocol wordt de dynamische vrije energie (return rate) gegeven door:
  $$g(t) = -\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi dk \ln \left[ 1 - 4 p_k(1 - p_k) \sin^2(\epsilon_k^f t) \right]$$
  Niet-analyticiteiten (DQPT's) ontstaan wanneer er een momentum $k^*$ bestaat waarvoor de ruisgemiddelde excitatiekans $p_{k^*} = 1/2$ is.
• Behoud van Coherentie: Door middel van de Landau-Zener-analyse weerleggen de auteurs de claim dat hun protocol "blind" is voor coherentie. Zij tonen aan dat $p_k$ een functie is van de off-diagonale elementen van de dichtheidsmatrix in de diabatische basis, wat garandeert dat het operationele protocol informatie over kwantumcoherentie behoudt, ondanks het gebruik van een zuivere-toestandrepresentatie voor de post-ramp evolutie.
• Experimentele Motivatie: Het protocol wordt gemotiveerd door de experimentele uitvoerbaarheid in technisch geconstrueerde twee-niveau systemen en kwantumsimulatoren, waarbij mode-opgeloste excitatiekansen direct meetbaar zijn. De return rate komt overeen met een interferometrisch signaal gegenereerd door de tweede, coherente fase van het protocol.

Betekenis en Claims
Het artikel concludeert dat er geen directe tegenstrijdigheid is tussen het theorema uit het Commentaar en de conclusies van Ref. [4]. De auteurs stellen dat:

1. Het Commentaar correct bewijst dat DQPT's afwezig zijn voor de Uhlmann-Bures gemengde-toestand return rate.
2. Echter, dit theorema invalideert de bevindingen van Ref. [4], die een ander, experimenteel gemotiveerd operationeel protocol onderzochten gebaseerd op populatie-behoudende zuivere toestanden.
3. Binnen dit specifieke operationele kader kunnen DQPT's (niet-analyticiteiten in de return rate) wel degelijk optreden en doen ze dat ook.
4. Het fysieke beeld van de dynamische fasestructuur in Ref. [4] wordt verder ondersteund door onafhankelijk theoretisch werk (Ref. [19]) met behulp van gereduceerde fidelity, wat de validiteit van het operationele protocol versterkt.

De auteurs handhaven dat hun werk een geldige operationele definitie biedt voor het bestuderen van DQPT's in ruisgevoelige omgevingen, die verschilt van de op fidelity gebaseerde definities die dergelijke transities uitsluiten.