Angular momentum conservation in two-atom superradiance

Sintesi Tecnica: Conservazione del Momento Angolare nella Superradianza di Due Atomi

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga la conservazione del momento angolare in un sistema di due atomi identici, ciascuno dotato di uno stato fondamentale $J=0$ e uno stato eccitato $J=1$. Gli atomi sono posizionati sull'asse $x$ ed eccitati da un impulso laser con polarizzazione $\sigma^+$ che si propaga lungo la direzione $z$. Sebbene il valore di aspettazione dell'energia del campo irradiato sia noto essere uguale all'energia atomica iniziale, il comportamento del momento angolare presenta uno scenario più complesso. Nello specifico, quando gli atomi giacciono sull'asse $z$, il momento angolare iniziale ($2\hbar\hat{z}$ per uno stato completamente invertito) viene interamente trasferito al campo di radiazione. Tuttavia, quando gli atomi giacciono sull'asse $x$, il campo di radiazione del vuoto induce uno scambio tra i sottolivelli magnetici (ad esempio, trasferendo l'eccitazione dall'atomo 1 allo stato $m=1$ all'atomo 2 nello stato $m=-1$). Questo scambio altera il momento angolare interno del sistema atomico durante il decadimento. Il problema centrale affrontato è determinare il momento angolare finale del campo irradiato in questa configurazione sull'asse $x$ e identificare il meccanismo mediante il quale il momento angolare totale si conserva, dato che il momento angolare del campo non è semplicemente uguale al momento angolare atomico iniziale.

Metodologia
Gli autori impiegano due approcci teorici complementari per calcolare il momento angolare finale nel campo ($L_f$) a seguito del decadimento degli atomi:

1. Approccio Sorgente-Campo (Source-Field): Questo metodo calcola il valore di aspettazione del momento angolare utilizzando il vettore di Poynting derivato dagli operatori di campo elettrico e magnetico. Viene implementata una modifica critica alla teoria convenzionale sorgente-campo:

   • Il calcolo mantiene i termini della zona intermedia negli operatori di campo. Mentre i termini della zona di radiazione producono un vettore di Poynting parallelo alla direzione di propagazione (risultando in un momento angolare nullo), l'inclusione dei termini della zona intermedia è necessaria per catturare il corretto flusso di momento angolare.
   • Lo spostamento finito del secondo atomo (situato in $R_{21}\hat{x}$) è esplicitamente considerato nelle espressioni degli operatori di campo. Le correzioni derivanti da questo spostamento, spesso trascurabili nei calcoli su singolo atomo o nei calcoli energetici, vengono mantenute poiché essenziali per la conservazione del momento angolare.
   • L'approssimazione dell'Onda Rotante (RWA) e l'approssimazione di Weisskopf-Wigner (WWA) sono applicate durante la valutazione dei valori di aspettazione degli operatori, ma non nella derivazione iniziale delle espressioni sorgente-campo.

2. Approccio di Schrödinger: Per verificare i risultati, gli autori utilizzano un metodo proposto nel Rif. [4] per calcolare direttamente il momento angolare del campo dalla l'evoluzione dello stato quantistico. Questo approccio richiede di mantenere termini che potrebbero sembrare nulli a prima vista, garantendo la coerenza con i risultati sorgente-campo.

Il sistema è modellato utilizzando "stati molecolari" (autovettori del sistema combinato dei due atomi) piuttosto che una base di "atomi nudi". Questa diagonalizzazione semplifica la dinamica, rivelando che il campo del vuoto induce l'accoppiamento tra stati come $|1g\rangle$ e $|g,-1\rangle$, portando a una dinamica di decadimento complessa che coinvolge coerenze tra diversi stati molecolari.

Contributi Chiave e Risultati

• Non Conservazione del Momento Angolare del Campo: Per atomi sull'asse $x$, il momento angolare finale nel campo ($\langle L_{field}(t=\infty) \rangle$) non è uguale al momento angolare iniziale del sistema a due atomi ($2\hbar\hat{z}$).
  • Nel caso di uno stato iniziale completamente invertito (Doppia Eccitazione, DE), se gli atomi sono separati da una distanza molto inferiore a una lunghezza d'onda, il momento angolare finale del campo è calcolato come $\hbar\hat{z}$.
  • Nel caso di una singola eccitazione (SE) dove l'atomo 1 è in $m=1$ e l'atomo 2 è nello stato fondamentale, il momento angolare finale del campo è calcolato come zero per separazioni sub-lunghezza d'onda.
• Meccanismo di Scambio: La discrepanza deriva dallo scambio rapido di eccitazione tra i sottolivelli magnetici ($m=1$ e $m=-1$) mediato dal campo del vuoto. Al momento dell'emissione del primo fotone, il sistema subisce una transizione in cui l'atomo 2 può essere eccitato in una sovrapposizione di stati $m=\pm 1$. Di conseguenza, quando il secondo fotone viene emesso, non viene trasferito alcun momento angolare netto al campo di radiazione nello stesso modo dello stato iniziale.
• Compensazione del Momento Angolare Orbitale: Si dimostra che il momento angolare "mancante" appare come momento angolare orbitale del sistema a due atomi. L'interazione di scambio esercita una coppia sugli atomi (specificamente, il trasferimento di eccitazione da $m=1$ a $m=-1$ esercita una coppia sull'atomo ricevente), cambiando il momento angolare meccanico della coppia atomica. La somma del momento angolare del campo e della variazione del momento angolare orbitale degli atomi è uguale al momento angolare totale iniziale, soddisfacendo le leggi di conservazione.
• Necessità Teorica di Termini Specifici: Il documento dimostra che un calcolo accurato richiede l'inclusione di termini, sia nell'approccio sorgente-campo che in quello di Schrödinger, che sono tipicamente trascurati nei calcoli su singolo atomo o focalizzati solo sull'energia. Nello specifico, le correzioni di spostamento agli operatori di campo e i contributi del campo della zona intermedia sono indispensabili per catturare il corretto bilancio del momento angolare.

Significatività
Il lavoro fornisce la prima analisi della conservazione del momento angolare specificamente nel contesto della superradianza di Dicke di due atomi, notando che gli autori non sono a conoscenza di precedenti articoli focalizzati sul momento angolare dei campi irradiati dal sistema specifico di due atomi qui considerato. Mentre esiste una vasta letteratura sulla superradianza di Dicke e sul momento angolare nella radiazione di un singolo atomo, questo lavoro affronta il problema fondamentale di come il momento angolare venga ripartito tra il campo di radiazione e il moto meccanico degli atomi in un sistema multi-atomico. I risultati evidenziano come la configurazione geometrica (orientamento relativo degli atomi) sia fondamentale nel determinare le proprietà radiative dei sistemi quantistici.