Angular momentum conservation in two-atom superradiance

Resumo Técnico: Conservação do Momento Angular na Superradiância de Dois Átomos

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a conservação do momento angular em um sistema de dois átomos idênticos, cada um possuindo um estado fundamental $J=0$ e um estado excitado $J=1$. Os átomos estão posicionados no eixo $x$ e são excitados por um pulso de laser com polarização $\sigma^+$ propagando-se na direção $z$. Embora o valor esperado da energia do campo irradiado seja conhecido como igual à energia atômica inicial, o comportamento do momento angular apresenta um cenário mais complexo. Especificamente, quando os átomos estão sobre o eixo $z$, o momento angular inicial ($2\hbar\hat{z}$ para um estado totalmente invertido) é totalmente transferido para o campo de radiação. No entanto, quando os átomos estão sobre o eixo $x$, o campo de radiação do vácuo induz uma troca entre os subníveis magnéticos (por exemplo, transferindo a excitação do estado $m=1$ do átomo 1 para o estado $m=-1$ do átomo 2). Esta troca altera o momento angular interno do sistema atômico durante o decaimento. O problema central abordado é determinar o momento angular final do campo de radiação nesta configuração no eixo $x$ e identificar o mecanismo pelo qual o momento angular total é conservado, dado que o momento angular do campo não é simplesmente igual ao momento angular atômico inicial.

Metodologia
Os autores empregam duas abordagens teóricas complementares para calcular o momento angular final no campo ($L_f$) após o decaimento dos átomos:

1. Abordagem Campo-Fonte: Este método calcula o valor esperado do momento angular usando o vetor de Poynting derivado dos operadores de campo elétrico e magnético. Uma modificação crítica à teoria de campo-fonte convencional é implementada:

   • O cálculo retém termos da zona intermediária nos operadores de campo. Enquanto termos da zona de radiação isolados produzem um vetor de Poynting paralelo à direção de propagação (resultando em zero momento angular), a inclusão de termos da zona intermediária é necessária para capturar o fluxo correto de momento angular.
   • O deslocamento finito do segundo átomo (localizado em $R_{21}\hat{x}$) é explicitamente contabilizado nas expressões dos operadores de campo. Correções decorrentes deste deslocamento, frequentemente negligenciáveis em cálculos de átomo único ou de energia, são mantidas, pois são essenciais para a conservação do momento angular.
   • A Aproximação de Campo Rotativo (RWA) e a Aproximação de Weisskopf-Wigner (WWA) são aplicadas durante a avaliação dos valores esperados dos operadores, mas não na derivação inicial das expressões de campo-fonte.

2. Abordagem de Schrödinger: Para verificar os resultados, os autores utilizam um método proposto na Ref. [4] para calcular o momento angular do campo diretamente a partir da evolução do estado quântico. Esta abordagem requer a retenção de termos que poderiam parecer nulos à primeira vista, garantindo consistência com os resultados de campo-fonte.

O sistema é modelado usando "estados moleculares" (autovetores do sistema combinado de dois átomos) em vez de uma base de "átomos puros". Esta diagonalização simplifica a dinâmica, revelando que o campo do vácuo induz o acoplamento entre estados como $|1g\rangle$ e $|g,-1\rangle$, levando a uma dinâmica de decaimento complexa envolvendo coerências entre diferentes estados moleculares.

Contribuições Principais e Resultados

• Não Conservação do Momento Angular do Campo: Para átomos no eixo $x$, o momento angular final no campo ($\langle L_{field}(t=\infty) \rangle$) não é igual ao momento angular inicial do sistema de dois átomos ($2\hbar\hat{z}$).
  • No caso de um estado inicial totalmente invertido (Dupla Excitação, DE), se os átomos estiverem separados por uma distância muito menor que um comprimento de onda, o momento angular final do campo é calculado como $\hbar\hat{z}$.
  • No caso de uma excitação única (SE), onde o átomo 1 está em $m=1$ e o átomo 2 está no estado fundamental, o momento angular final do campo é calculado como zero para separações sub-comprimento de onda.
• Mecanismo de Troca: A discrepância surge da rápida troca de excitação entre subníveis magnéticos ($m=1$ e $m=-1$) mediada pelo campo do vácuo. À medida que o primeiro fóton é emitido, o sistema passa por uma transição onde o átomo 2 pode ser excitado para uma superposição de estados $m=\pm 1$. Consequentemente, quando o segundo fóton é emitido, nenhum momento angular líquido é transferido para o campo de radiação da mesma maneira que o estado inicial.
• Compensação pelo Momento Angular Orbital: Demonstra-se que o momento angular "faltante" aparece como momento angular orbital do sistema de dois átomos. A interação de troca exerce um torque sobre os átomos (especificamente, transferir a excitação de $m=1$ para $m=-1$ exerce um torque no átomo receptor), alterando o momento angular mecânico do par atômico. A soma do momento angular do campo e a mudança no momento angular orbital dos átomos iguala o momento angular total inicial, satisfazendo as leis de conservação.
• Necessidade Teórica de Termos Específicos: O artigo demonstra que um cálculo preciso exige a inclusão de termos tanto nas abordagens de campo-fonte quanto de Schrödinger que são tipicamente negligenciados em cálculos de átomo único ou apenas de energia. Especificamente, as correções de deslocamento para os operadores de campo e as contribuições de campo da zona intermediária são indispensáveis para capturar o balanço correto do momento angular.

Significância
O artigo fornece a primeira análise da conservação do momento angular especificamente dentro do contexto da superradiância de Dicke de dois átomos, observando que os autores não têm conhecimento de trabalhos anteriores focando no momento angular de campos irradiados pelo sistema de dois átomos específico considerado aqui. Embora exista uma literatura extensa sobre superradiância de Dicke e momento angular em radiação de átomo único, este trabalho aborda o problema fundamental de como o momento angular é particionado entre o campo de radiação e o movimento mecânico dos átomos em um sistema multi-atômico. Os achados destacam a importância da configuração geométrica (orientação relativa dos átomos) ao determinar as propriedades radiativas de sistemas quânticos.