Angular momentum conservation in two-atom superradiance

技术摘要：两原子超辐射中的角动量守恒

问题陈述
本文研究了由两个完全相同的原子组成的系统的角动量守恒问题，每个原子都具有 $J=0$ 的基态和 $J=1$ 的激发态。这些原子位于 $x$ 轴上，并由沿 $z$ 方向传播的 $\sigma^+$ 偏振激光脉冲激发。虽然辐射场的能量期望值已知等于初始原子能量，但角动量的行为呈现出更为复杂的情景。具体而言，当原子位于 $z$ 轴时，初始角动量（对于全反转态为 $2\hbar\hat{z}$）会完全转移到辐射场中。然而，当原子位于 $x$ 轴时，真空辐射场会诱导磁子能级之间的交换（例如，将激发从原子 1 的 $m=1$ 态转移到原子 2 的 $m=-1$ 态）。这种交换在衰变过程中改变了原子系统的内部角动量。本文旨在解决的核心问题是：确定这种 $x$ 轴配置下辐射场的最终角动量，并识别角动量守恒的机制，因为此时场的角动量并不简单地等于初始原子角动量。

方法论
作者采用了两种互补的理论方法来计算原子衰变后的场角动量 ($L_f$)：

1. 源场法 (Source-Field Approach)： 该方法通过由电场和磁场算符导出的坡印廷矢量来计算角动量的期望值。为了修正传统的源场理论，实施了一项关键改进：

   • 计算过程中保留了场算符中的中间区项 (intermediate-zone terms)。仅考虑辐射区的项会导致坡印廷矢量平行于传播方向（从而导致角动量为零），因此必须包含中间区项才能捕捉到正确的角动量通量。
   • 显式考虑了第二个原子（位于 $R_{21}\hat{x}$）的有限位移。这些由位移产生的修正项在单原子计算或能量计算中通常可以忽略不计，但作为捕捉角动量守恒的关键，它们被予以保留。
   • 在评估算符期望值时应用了旋转波近似 (RWA) 和 Weisskopf-Wigner 近似 (WWA)，但在初始推导源场表达式时并未应用。

2. 薛定谔图象法 (Schrödinger Picture Approach)： 为了验证结果，作者利用参考文献 [4] 中提出的方法，直接从量子态演化计算场角动量。该方法要求保留那些乍看之下可能消失的项，以确保与源场结果的一致性。

系统使用“分子态”（组合两原子系统的本征态）而非“裸原子”基组进行建模。这种对角化简化了动力学过程，揭示了真空场如何诱导不同状态之间的耦合（例如在 $|1g\rangle$ 和 $|g,-1\rangle$ 之间），从而导致涉及不同分子态之间相干性的复杂衰变动力学。

主要贡献与结果

• 场角动量的不守恒性： 对于位于 $x$ 轴的原子，最终的场角动量 ($\langle L_{field}(t=\infty) \rangle$) 并不等于两原子系统的初始角动量 ($2\hbar\hat{z}$)。
  • 在全反转初始态（双激发，DE）的情况下，如果原子间距远小于波长，计算得出的最终场角动量为 $\hbar\hat{z}$。
  • 在单激发（SE）情况下（即原子 1 处于 $m=1$ 态，原子 2 处于基态），对于亚波长间距，计算得出的最终场角动量为零。
• 交换机制： 这种差异源于由真空场介导的磁子能级（$m=1$ 和 $m=-1$）之间快速的激发交换。当第一个光子发射时，系统发生转变，使得原子 2 可能被激发到 $m=\pm 1$ 态的叠加态中。因此，当第二个光子发射时，不再以相同的方式向辐射场转移净角动量。
• 轨道角动量补偿： 研究表明，“缺失”的角动量以原子系统的轨道角动量形式出现。交换相互作用会对原子施加转矩（具体而言，将激发从 $m=1$ 转移到 $m=-1$ 会对接收激发的原子施加转矩），从而改变原子对的机械角动量。场角动量与原子轨道角动量的变化量之和等于初始总角动量，从而满足守恒定律。
• 特定项的理论必要性： 本文证明，准确计算需要包含在单原子或仅针对能量的计算中通常会被忽略的项。具体而言，场算符的位移修正项和中间区场贡献对于捕捉正确的角动量平衡是必不可少的。

意义
本文提供了首次针对两原子狄克（Dicke）超辐射背景下角动量守恒的分析。作者指出，目前尚无其他论文专门研究此处所涉及的特定两原子系统的辐射角动量。尽管关于单原子辐射角动量的狄克超辐射及相关文献已非常丰富，但本研究解决了如何在多原子系统中分配角动量（即在辐射场与原子机械运动之间分配）这一基本问题。研究结果强调，在具有简并激发态的超辐射系统中，内部状态的交换可以从根本上改变角动量向场的转移，因此有必要从整个系统（场 + 原子轨道）的总角动量角度重新评估守恒定律。研究结果强调了几何构型（原子的相对取向）在决定量子系统辐射特性方面的重要性。