Angular momentum conservation in two-atom superradiance

Technische Samenvatting: Behoud van impulsmoment in twee-atoom superradiantie

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt het behoud van impulsmoment in een systeem van twee identieke atomen, die elk een grondtoestand met $J=0$ en een aangeslagen toestand met $J=1$ bezitten. De atomen zijn op de $x$-as gepositioneerd en worden geëxciteerd door een $\sigma^+$-gepolariseerde laserpuls die in de $z$-richting voortplant. Hoewel de verwachtingswaarde van de energie van het uitgestraalde veld bekend is als gelijk aan de initiële atomaire energie, vertoont het gedrag van het impulsmoment een complexer scenario. Specifiek: wanneer de atomen op de $z$-as liggen, wordt het initiële impulsmoment ($2\hbar\hat{z}$ voor een volledig geïnverteerde toestand) volledig overgedragen aan het stralingsveld. Echter, wanneer de atomen op de $x$-as liggen, induceert het vacuümstralingsveld een uitwisseling tussen magnetische subniveaus (bijvoorbeeld het overdragen van excitatie van de $m=1$ toestand van atoom 1 naar de $m=-1$ toestand van atoom 2). Deze uitwisseling verandert het interne impulsmoment van het atomaire systeem tijdens het verval. Het centrale probleem dat wordt behandeld, is het bepalen van het uiteindelijke impulsmoment van het stralingsveld in deze $x$-as configuratie en het identificeren van het mechanisme waarmee het totale impulsmoment behouden blijft, aangezien het impulsmoment van het veld niet simpelweg gelijk is aan het initiële atomaire impulsmoment.

Methodologie
De auteurs hanteren twee complementaire theoretische benaderingen om het uiteindelijke impulsmoment in het veld ($L_f$) te berekenen na het verval van de atomen:

1. Bronveld-benadering (Source-Field Approach): Deze methode berekent de verwachtingswaarde van het impulsmoment met behulp van de Poynting-vector afgeleid van elektrische en magnetische veldoperatoren. Een cruciale modificatie op de conventionele bronveldtheorie wordt geïmplementeerd:

   • De berekening behoudt intermediaire-zone termen in de veldoperatoren. Terwijl termen in de stralingszone alleen een Poynting-vector opleveren die parallel is aan de voortplantingsrichting (wat resulteert in nul impulsmoment), is de inclusie van intermediaire-zone termen noodzakelijk om de correcte impulsmomentflux te vangen.
   • De eindige verplaatsing van het tweede atoom (gelegen op $R_{21}\hat{x}$) wordt expliciet meegenomen in de veldoperatoruitdrukkingen. Correcties die voortvloeien uit deze verplaatsing, vaak verwaarloosbaar in enkelvoudige atoomberekeningen of energieberekeningen, worden behouden omdat ze essentieel zijn voor het behoud van impulsmoment.
   • De Rotatie-golf Benadering (RWA) en de Weisskopf-Wigner Benadering (WWA) worden toegepast tijdens de evaluatie van de operatorverwachtingswaarden, maar niet in de initiële afleiding van de bronvelduitdrukkingen.

2. Schrödinger-benadering (Schrödinger Picture Approach): Om de resultaten te verifiëren, gebruiken de auteurs een methode voorgesteld in Ref. [4] om het veldimpulsmoment direct te berekenen vanuit de kwantumtoestandsevolutie. Deze benadering vereist het behouden van termen die op het eerste gezicht mogelijk zouden verdwijnen, om consistentie met de bronveldresultaten te waarborgen.

Het systeem wordt gemodelleerd met behulp van "moleculaire toestanden" (eigenketsen van het gecombineerde twee-atoomsysteem) in plaats van een "naakt-atoom" basis. Deze diagonalisatie vereenvoudigt de dynamica en laat zien dat het vacuümveld een koppeling induceert tussen toestanden zoals $|1g\rangle$ en $|g,-1\rangle$, wat leidt tot een complexe vervaldynamica met coherenties tussen verschillende moleculaire toestanden.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Niet-behoud van Veldimpulsmoment: Voor atomen op de $x$-as is het uiteindelijke impulsmoment in het veld ($\langle L_{field}(t=\infty) \rangle$) niet gelijk aan het initiële impulsmoment van het twee-atoomsysteem ($2\hbar\hat{z}$).
  • In het geval van een volledig geïnverteerde initiële toestand (Dubbele Excitatie, DE), als de atomen gescheiden zijn door veel minder dan een golflengte, wordt het uiteindelijke veldimpulsmoment berekend als $\hbar\hat{z}$.
  • In het geval van een enkele excitatie (Single Excitation, SE) waarbij atoom 1 zich in $m=1$ bevindt en atoom 2 in de grondtoestand, wordt het uiteindelijke veldimpulsmoment berekend als nul voor sub-golflengte scheidingen.
• Mechanisme van Uitwisseling: De discrepantie komt voort uit de snelle uitwisseling van excitatie tussen magnetische subniveaus ($m=1$ en $m=-1$), bemiddeld door het vacuümveld. Terwijl het eerste foton wordt uitgezonden, ondergaat het systeem een transitie waarbij atoom 2 geëxciteerd kan worden in een superpositie van $m=\pm 1$ toestanden. Bijgevolg wordt er bij de emissie van het tweede foton geen netto impulsmoment aan het stralingsveld overgedragen op dezelfde wijze als de initiële toestand.
• Compensatie door Baanimpulsmoment: De "ontbrekende" impulsmoment wordt aangetoond te verschijnen als baanimpulsmoment (orbital angular momentum) van het twee-atoomsysteem. De uitwisselingsinteractie oefent een koppel (torque) uit op de atomen (specifiek: het overdragen van excitatie van $m=1$ naar $m=-1$ oefent een koppel uit op het ontvangende atoom), waardoor het mechanische impulsmoment van het atoompaar verandert. De som van het veldimpulsmoment en de verandering in het baanimpulsmoment van de atomen is gelijk aan het initiële totale impulsmoment, waarmee de behoudswetten worden voldaan.
• Theoretische Noodzaak van Specifieke Termen: Het artikel toont aan dat een nauwkeurige berekening vereist dat termen worden opgenomen die in zowel de bronveld- als de Schrödinger-benaderingen doorgaans worden genegeerd in enkelvoudige atoom- of energieberekeningen. Met name de verplaatsingscorrecties voor de veldoperatoren en de bijdragen van de intermediaire-zone velden zijn onmisbaar om de correcte balans van het impulsmoment te vatten.

Betekenis
Dit artikel biedt de eerste analyse van het behoud van impulsmoment specifiek binnen de context van twee-atoom Dicke superradiantie, waarbij de auteurs opmerken dat zij zich niet bewust zijn van eerdere publicaties die zich richten op het impulsmoment van de specifieke twee-atoom systemen die hier worden beschouwd. Er bestaat uitgebreide literatuur over Dicke superradiantie en impulsmoment in enkelvoudige atoomstraling, maar dit werk adresseert het fundamentele probleem van hoe impulsmoment wordt verdeeld tussen het stralingsveld en de mechanische beweging van de atomen in een multi-atoomsysteem. De bevindingen benadrukken dat in superradiante systemen met gedegenereerde aangeslagen toestanden, de interne toestandsuitwisseling de overdracht van impulsmoment aan het veld fundamenteel kan veranderen, wat een herwaardering van de behoudswetten vereist in termen van het totale systeem (veld + atomair baanimpulsmoment) in plaats van alleen het veld of de interne atomaire spin. De resultaten onderstrepen het belang van de geometrische configuratie (relatieve oriëntatie van de atomen) bij het bepalen van de radiatieve eigenschappen van kwantumsystemen.