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A Grayscale image encryption using cubic fractional transformation and logistic map

Questo articolo propone uno schema di cifratura di immagini in scala di grigi che combina una S-box generata da una trasformazione frazionaria cubica con una mappa logistica per eseguire sostituzione, diffusione e scrambling basato su XOR, dimostrando una sicurezza robusta attraverso analisi statistiche e di sensibilità della chiave complete.

Autori originali: Abdul Qadeer, Rashid Ali, Tahir Sajjad Ali

Pubblicato 2026-07-22

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CC BY 4.0

Autori originali: Abdul Qadeer, Rashid Ali, Tahir Sajjad Ali

Articolo originale sotto licenza CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Questa è una spiegazione generata dall'IA dell'articolo qui sotto. Non è stata scritta né approvata dagli autori. Per precisione tecnica, consulta l'articolo originale. Leggi il disclaimer completo

Immaginate il mondo digitale come una città frenetica dove i dati sono la valuta e le immagini sono i gioielli più preziosi che vengono scambiati. In questo scambio ad alta velocità, proteggere quei gioielli dai ladri è una battaglia costante. Questo è il mondo della crittografia, la scienza della scrittura segreta. Al suo cuore risiede un'idea semplice ma potente: prendere qualcosa di riconoscibile, come una foto del tuo volto, e rimescolarlo così profondamente da farlo apparire come rumore statico a chiunque non possieda la chiave giusta. Per fare questo, i crittografi usano due trucchi principali. Primo, usano la sostituzione, che è come scambiare ogni lettera di una parola con un simbolo completamente diverso secondo un codice segreto. Secondo, usano lo scrambling (rimescolamento), che è come prendere un mazzo di carte, mescolarle finché l'ordine non diventa caotico e poi distribuirle. L'obiettivo è far sì che il risultato finale sembri così casuale da non permettere il ritrovamento di alcun pattern, garantendo che anche se un hacker ruba il messaggio, non possa comprenderlo senza le istruzioni specifiche per decifrarlo.

Nel documento intitolato "A Grayscale image encryption using cubic fractional transformation and logistic map", i ricercatori Abdul Qadeer, Rashid Ali e Tahir Sajjad Ali propongono una nuova ricetta in tre fasi per rimescolare le immagini in scala di grigi (foto in bianco e nero) per renderle incredibilmente difficili da violare. Non usano un solo trucco; combinano un codice personalizzato, una macchina di rimescolamento matematica e un generatore caotico per creare una fortezza attorno all'immagine.

In primo luogo, il team costruisce una S-box (Substitution-box) personalizzata, che funge da loro codice segreto. Invece di usare un codice standard o casuale, costruiscono questa utilizzando una formula matematica chiamata Trasformazione Frazionaria Cubica (CFT). Pensate a questo come alla creazione di una ruota cifrante unica e singolare, dove ogni numero da 0 a 255 (che rappresenta le sfumature di grigio di una foto) viene scambiato con un nuovo numero imprevedibile. Gli autori suggeriscono che questa specifica ricetta matematica crea un codice altamente non lineare e resistente agli attacchi comuni, con una non linearità media di 106,75.

Una volta che i valori dei pixel sono stati scambiati usando questo codice personalizzato, l'immagine ha ancora la stessa forma, solo con colori diversi. Il passaggio successivo è la permutazione, o rimescolamento. I ricercatori utilizzano la stessa matematica CFT per generare due sequenze casuali. Queste sequenze fungono da istruzioni per eseguire spostamenti circolari — immaginate di far scorrere le righe e le colonne dell'immagine in cerchio, come un puzzle scorrevole, ma in un modo determinato dalle chiavi segrete. Questo passaggio sposta i pixel in modo che un pixel che originariamente si trovava accanto al suo vicino sia ora lontano, rompendo qualsiasi pattern locale.

Infine, il team applica un processo di scrambling utilizzando una mappa logistica, una famosa funzione matematica nota per produrre sequenze caotiche e imprevedibili. Usano questo per generare un flusso di numeri casuali. Successivamente, eseguono un'operazione Boolean XOR (un tipo specifico di matematica binaria) tra l'immagine rimescolata e questo flusso casuale. Questo è il lucchetto finale: mescola i dati dell'immagine con il caos, assicurando che anche un minimo cambiamento nell'immagine originale o nella chiave risulti in un'immagine finale completamente diversa.

I ricercatori hanno testato il loro metodo su immagini di prova standard come "Lena", "Baboon" e "Clock". Le loro simulazioni mostrano che le immagini criptate risultanti sembrano puro rumore statico. Quando hanno misurato l'entropia (una misura di casualità), le immagini criptate hanno ottenuto un punteggio molto vicino al massimo ideale di 8 (specificamente intorno a 7,997), suggerendo che i dati siano altamente casuali. Hanno anche controllato la sensibilità della chiave, scoprendo che cambiare la chiave segreta anche di una quantità infinitesimale (come aggiungere 0,000000000000005) rendeva impossibile recuperare l'immagine originale, provando che il sistema è estremamente sensibile alla chiave corretta. Inoltre, i valori NPCR (Number of Pixel Change Rate) e UACI (Unified Average Changing Intensity) erano elevati (intorno al 99,6% e al 33,4% rispettivamente), indicando che cambiare anche un solo pixel nella foto originale causa un cambiamento massiccio e imprevedibile nella versione criptata.

Il documento suggerisce che questa combinazione di una S-box generata da CFT, uno shuffling basato su CFT e uno scrambling tramite mappa logistica crei uno schema di cifratura robusto. Gli autori concludono che il loro metodo resiste agli attacchi crittografici comuni, come tentare di indovinare la chiave o analizzare i pattern statistici dell'immagine. Tuttavia, queste scoperte si basano su simulazioni e analisi matematica delle prestazioni dell'algoritmo su immagini di test, non su un impiego nel mondo reale contro hacker attivi. Il lavoro propone un metodo sicuro per proteggere le immagini digitali, offrendo un nuovo modo per blindare i dati visivi in un'era in cui la privacy è sempre più preziosa.

Sintesi Tecnica: Cifratura di Immagini in Scala di Grigi tramite Trasformata Frazionaria Cubica e Mappa Logistica

Definizione del Problema
Nell'era tecnologica moderna, la rapida evoluzione della tecnologia dell'informazione richiede metodi robusti per la protezione dei dati, in particolare delle informazioni basate su immagini. Sebbene esistano varie tecniche di cifratura, inclusi i sistemi a chiave simmetrica e asimmetrica, vi è una continua necessità di algoritmi efficienti che garantiscano una trasmissione sicura convertendo le immagini riconoscibili in forme irriconoscibili. I metodi esistenti spesso si affidano a sistemi caotici o strutture algebriche, ma gli autori identificano la necessità di schemi che combinino efficacemente le proprietà di sostituzione, permutazione e diffusione per resistere ai comuni attacchi criptografici come l'analisi differenziale, lineare e statistica.

Metodologia
L'articolo propone un nuovo schema di cifratura di immagini in scala di grigi che integra una Substitution-box (S-box) generata tramite Trasformata Frazionaria Cubica (CFT) con una mappa logistica. Il processo di cifratura per un'immagine in scala di grigi $256 \times 256$ segue un flusso di lavoro in tre fasi:

Generazione della S-Box e Sostituzione:
- Una S-box viene costruita utilizzando la Trasformata Frazionaria Cubica (CFT). La trasformata è definita come $F(x) = \frac{1}{ax^3 + b} \mod (2n+1)$ , con parametri specifici $a=95$ e $b=15$ .
- Per gestire gli output non validi (specificamente quando il denominatore è zero o i risultati cadono al di fuori dell'intervallo valido), gli autori applicano una CFT modificata che assegna valori specifici (0 e 106) a input problematici ( $x=176$ e $x=184$ ).
- Questa S-box generata viene utilizzata per sostituire i valori dei pixel dell'immagine originale, creando una matrice di immagine sostituita $S'$ .
Permutazione (Diffusione):
- Due sequenze casuali vengono generate utilizzando la CFT con diversi set di parametri ( $k_1$ e $k_2$ ) per guidare il processo di permutazione.
- L'algoritmo applica uno slittamento circolare per colonne all'immagine sostituita $S'$ utilizzando la prima sequenza, seguito da uno slittamento circolare per righe utilizzando la seconda sequenza. Ciò produce un'immagine pre-criptata $P$ .
Scrambling (Confusione):
- Viene utilizzata una mappa logistica, definita da $t_{n+1} = \gamma \times t_n (1 - t_n)$ , per generare una sequenza caotica.
- La sequenza viene elaborata per eliminare gli effetti transitori e convertita in valori interi a 8 bit.
- Viene eseguita un'operazione bitwise XOR tra i pixel dell'immagine pre-criptata e la sequenza caotica. Il processo impiega un meccanismo di feedback in cui il pixel criptato corrente dipende dal precedente pixel criptato, dal corrente pixel pre-criptato e dal valore della sequenza caotica.

Decifrazione
L'algoritmo di decifrazione inverte il processo:

L'operazione XOR viene invertita utilizzando la stessa sequenza caotica generata dalla mappa logistica.
Gli slittamenti circolari per righe e colonne vengono invertiti utilizzando le sequenze generate dalla CFT.
La S-box inversa (derivata dai parametri originali della CFT) viene applicata per ripristinare i valori originali dei pixel.

Contributi Chiave

Costruzione Novità della S-Box: L'articolo sostiene che questo sia il primo metodo a utilizzare la Trasformata Frazionaria Cubica specificamente per la costruzione di una S-box per la cifratura di immagini, estendendo il lavoro precedente sulle Trasformate Frazionarie Lineari.
Approccio Ibrido: Lo schema combina efficacemente le proprietà di confusione di una S-box costruita algebricamente con le capacità di diffusione delle permutazioni basate su CFT e la casualità caotica della mappa logistica.
Analisi di Sicurezza Completa: Gli autori forniscono una valutazione rigorosa dello schema proposto rispetto agli standard metrici criptografici.

Risultati e Prestazioni
L'algoritmo è stato testato su immagini standard in scala di grigi (Clock, Lena, Baboon, Pepper, Female) utilizzando MATLAB R2017a. I risultati indicano:

Spazio delle Chiavi: Lo schema utilizza quattro chiavi segrete ( $k_0, k_1, k_2, k_3$ ), risultando in uno spazio di chiavi di $2^{147}$ , che supera il requisito minimo per resistere agli attacchi brute-force.
Sensibilità alla Chiave: Il sistema è altamente sensibile alle variazioni di chiave; una minima alterazione (ad esempio, $0.000000000000005$) nel parametro $\gamma$ della mappa logistica produce un'immagine decifrata completamente diversa, impedendo l'accesso non autorizzato.
Analisi Differenziale: Il metodo proposto raggiunge alti valori di NPCR (Number of Pixel Change Rate) e UACI (Unified Average Changing Intensity). Ad esempio, l'immagine Lena ha prodotto un NPCR del 99.5910% e un UACI del 33.3255%, paragonabili o superiori agli schemi esistenti, indicando una forte resistenza agli attacchi di tipo known e chosen plaintext.
Coefficienti di Correlazione: La cifratura riduce significativamente la correlazione tra i pixel adiacenti. Mentre le immagini in chiaro mostrano un'alta correlazione (ad esempio, 0.9451 per l'orizzontale di Lena), le immagini cifrate mostrano valori vicini allo zero (ad esempio, -0.0049), rompendo efficacemente le relazioni statistiche.
Entropia: L'entropia dell'informazione delle immagini criptate si avvicina al valore ideale di 8 (ad esempio, 7.9973 per Lena), indicando un'alta casualità e imprevedibilità.
Analisi dell'Istogramma: Gli istogrammi delle immagini criptate mostrano una distribuzione uniforme, non fornendo indizi statistici sulla struttura dell'immagine originale.

Significatività e Rivendicazioni
Gli autori affermano che l'algoritismo proposto è un metodo sicuro ed efficace per la cifratura di immagini in scala di grigi. Essi sostengono che la specifica S-box costruita tramite CFT possiede forti proprietà criptografiche, tra cui un'alta non-linearità (media 106.75), una bassa probabilità lineare (0.1484) e una bassa probabilità differenziale (0.0391), rendendola resistente alla criptanalisi lineare e differenziale. Lo studio conclude che la combinazione di sostituzione/permutazione basata su CFT e scrambling basato sulla mappa logistica crea un sistema robusto capace di resistere ai comuni attacchi criptografici, adatto alla cifratura di immagini di vari tipi e dimensioni.

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