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A Grayscale image encryption using cubic fractional transformation and logistic map

本文提出了一种结合了由三次分式变换生成的 S 盒与逻辑映射以执行置换、扩散和基于异或的置乱的灰度图像加密方案，通过全面的统计分析和密钥敏感性分析证明了其鲁棒的安全性。

原作者： Abdul Qadeer, Rashid Ali, Tahir Sajjad Ali

发布于 2026-07-22

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原作者： Abdul Qadeer, Rashid Ali, Tahir Sajjad Ali

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，数字世界是一座繁忙的城市，数据是流通的货币，而图像则是其中交易最珍贵的珠宝。在这场高速交换中，保护这些珠宝免受窃贼侵害是一场持久战。这就是密码学的世界，即关于秘密书写的科学。其核心是一个简单而强大的理念：将一个可识别的东西（比如你的照片）进行彻底的搅乱，使其在没有正确密钥的人眼中看起来就像是静态噪声。为了实现这一点，密码学家使用了两种主要技巧。首先，他们使用代换（substitution），这就像是根据一本秘密代码本，将单词中的每个字母替换为一个完全不同的符号。其次，他们使用置乱（scrambling），这就像是拿一副扑克牌，不断洗牌直到顺序变得混乱，然后将其发出来。目标是使最终结果看起来如此随机，以至于找不到任何模式，从而确保即使黑客窃取了信息，如果没有特定的解密指令，也无法理解其含义。

在题为《一种基于三次分式变换和逻辑映射的灰度图像加密方法》的论文中，研究人员 Abdul Qadeer、Rashid Ali 和 Tahir Sajjad Ali 提出了一种全新的、用于对灰度图像（黑白照片）进行置乱的三步配方，旨在使其极难被破解。他们不仅仅使用一种技巧，而是结合了一个定制的代码本、一个数学洗牌机和一个混沌生成器，为图像筑起了一座堡垒。

首先，团队构建了一个定制的 S-box（代换盒），它充当他们的秘密代码本。他们并没有使用标准的或随机的代码本，而是利用一种称为**三次分式变换（Cubic Fractional Transformation, CFT）**的数学公式来构建这个代码本。可以把这想象成制作一个独一无二的定制密码轮，其中代表照片灰度等级的每个数字（从 0 到 255）都会被替换为一个新的、不可预测的数字。作者指出，这种特定的数学配方创建了一个具有高度非线性且能抵抗常见攻击的代码本，其平均非线性度为 106.75。

一旦像素值通过这个定制代码本进行了替换，图像虽然颜色变了，但形状仍然保持不变。下一步是置换（permutation），即洗牌。研究人员使用相同的 CFT 数学方法生成两个随机序列。这些序列充当指令来进行循环移位——想象一下像玩滑动拼图一样，在圆圈内滑动图像的行和列，但这种方式是由秘密密钥决定的。这一步移动了像素的位置，使得原本相邻的像素现在变得远离，从而打破了局部模式。

最后，团队使用 Logistic map（逻辑映射）应用了一个置乱过程，这是一种以产生混沌、不可预测序列而闻名于世的著名数学函数。他们利用它生成一组随机数。然后，他们在洗牌后的图像与这个随机流之间执行 Boolean XOR 操作（一种特定的二进制运算）。这是最后的锁：它将图像数据与混沌混合在一起，确保即使原始图像或密钥发生微小的变化，也会导致完全不同的最终图像。

研究人员在“Lena”、“Baboon”和“Clock”等标准测试图像上测试了他们的方法。他们的模拟显示，加密后的图像看起来就像纯粹的静态噪声。当我们测量熵（entropy）（一种衡量随机性的指标）时，加密图像的分数非常接近理想的最大值 8（具体约为 7.997），这表明数据具有高度的随机性。他们还检查了密钥敏感性，发现即使改变极其微小的密钥（例如增加 0.000000000000005），也无法恢复原始图像，这证明了该系统对正确密钥极其敏感。此外，NPCR（像素变化率）和 UACI（统一平均变化强度）的值都很高（分别约为 99.6% 和 33.4%），这表明即使原始照片中只有一个像素发生变化，也会导致加密版本发生巨大的、不可预测的变化。

论文指出，这种结合了 CFT 生成的 S-box、基于 CFT 的洗牌以及 Logistic map 置乱的方法，创建了一个稳健的加密方案。作者得出结论，他们的方法能够抵御常见的密码学攻击，例如尝试猜测密钥或分析图像的统计模式。然而，这些发现是基于算法在测试图像上的模拟和数学分析，而非针对活跃黑客的现实世界部署。这项工作提出了一种保护数字图像的安全方法，在隐私日益珍贵的时代，为锁定视觉数据提供了一种新途径。

技术摘要：基于三次分式变换与逻辑映射的灰度图像加密

问题陈述
在现代技术时代，信息技术的快速演进要求必须具备稳健的数据保护方法，特别是针对基于图像的信息。尽管存在包括对称和非对称密钥系统在内的各种加密技术，但对于能够确保安全传输、将可识别图像转换为不可识别形式的高效算法，仍存在持续的需求。现有方法通常依赖于混沌系统或代数结构，但作者指出，需要一种能够有效结合替换（substitution）、置换（permutation）和扩散（diffusion）特性，以抵御差分分析、线性分析和统计分析等常见密码学攻击的方案。

方法论
本文提出了一种新型灰度图像加密方案，该方案集成了通过三次分式变换（Cubic Fractional Transformation, CFT）生成的替换盒（S-box）与逻辑映射（Logistic map）。针对 $256 \times 256$ 灰度图像的加密过程遵循三阶段工作流：

S-Box 生成与替换：
- 使用三次分式变换（CFT）构建 S-box。该变换定义为 $F(x) = \frac{1}{ax^3 + b} \mod (2n+1)$ ，其中特定参数为 $a=95$ 且 $b=15$ 。
- 为了处理无效输出（特别是当分母为零或结果超出有效范围时），作者应用了改进的 CFT，将特定值（0 和 106）分配给问题输入（ $x=176$ 和 $x=184$ ）。
- 生成的此 S-box 用于替换原始图像的像素值，从而创建替换后的图像矩阵 $S'$ 。
置换（扩散）：
- 使用具有不同参数集（ $k_1$ 和 $k_2$ ）的 CFT 生成两个随机序列，以驱动置换过程。
- 算法使用第一个序列对替换后的图像 $S'$ 进行列循环移位，随后使用第二个序列进行行循环移位。由此产生预加密图像 $P$ 。
混淆（扰乱）：
- 利用逻辑映射（定义为 $t_{n+1} = \gamma \times t_n (1 - t_n)$ ）生成一个混沌序列。
- 对该序列进行处理以消除瞬态效应，并将其转换为 8 位整数值。
- 对预加密图像像素与混沌序列执行按位异或（XOR）操作。该过程采用反馈机制，使得当前的加密像素取决于前一个加密像素、当前的预加密像素以及混沌序列值。

解密
解密算法逆转上述过程：

使用由逻辑映射生成的相同混沌序列逆转异或操作。
使用 CFT 生成的序列逆转行移位和列移位。
应用逆 S-box（由原始 CFT 参数导出）以恢复原始像素值。

核心贡献

新颖的 S-Box 构建： 本文声称这是首个专门利用三次分式变换构建用于图像加密的 S-box 的方法，扩展了以往关于线性分式变换的研究。
混合方法： 该方案有效地结合了由代数构建的 S-box 的混淆特性、基于 CFT 的置换的扩散能力，以及基于逻辑映射的混沌随机性。
全面的安全性分析： 作者针对标准密码学指标对所提出的方案进行了严格评估。

结果与性能
该算法在标准灰度图像（Clock, Lena, Baboon, Pepper, Female）上进行了测试，使用 MATLAB R2017a。结果表明：

密钥空间： 该方案利用四个密钥（ $k_0, k_1, k_2, k_3$ ），其密钥空间为 $2^{147}$ ，超过了抵抗暴力破解攻击的最低要求。
密钥敏感性： 系统对密钥变化高度敏感；逻辑映射参数 $\gamma$ 的微小变化（例如 $0.000000000000005$）会导致完全不同的解密图像，从而防止未经授权的访问。
差分分析： 所提方法实现了极高的 NPCR（像素变化率）和 UACI（统一平均变化强度）值。例如，Lena 图像的 NPCR 为 99.5910%，UACI 为 33.3255%，与现有方案相当甚至更高，表明其对已知明文和选择明文攻击具有较强的抵抗力。
相关系数： 加密显著降低了相邻像素之间的相关性。虽然原图显示出高相关性（例如 Lena 水平方向为 0.9451），但密文图像的值接近于零（例如 -0.0049），有效地打破了统计关系。
熵：加密图像的信息熵接近理想值 8（例如 Lena 为 7.9973），表明具有高度的随机性和不可预测性。
直方图分析： 加密图像的直方图呈现均匀分布，未显示出原始图像结构的统计特征。

意义与主张
作者声称，所提出的算法是一种安全且有效的灰度图像加密方法。他们断言，通过 CFT 构建的特定 S-box 具有强大的密码学特性，包括高非线性（平均 106.75）、低线性概率（0.1484）和低差分概率（0.0391），使其能够抵御线性分析和差分分析。研究结论认为，结合基于 CFT 的替换/置换与基于逻辑映射的混淆，创建了一个能够抵御常见密码学攻击的稳健系统，适用于加密各种类型和尺寸的图像。

技术摘要：基于三次分式变换与逻辑映射的灰度图像加密

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