A Grayscale image encryption using cubic fractional transformation and logistic map

Resumen Técnico: Cifrado de Imágenes en Escala de Grises mediante Transformación Fraccionaria Cúbica y Mapa Logístico

Planteamiento del Problema
En la era tecnológica moderna, la rápida evolución de la tecnología de la información exige métodos robustos para la protección de datos, particularmente de la información basada en imágenes. Si bien existen diversas técnicas de cifrado, incluyendo sistemas de clave simétrica y asimétrica, existe una necesidad continua de algoritmos eficientes que aseguren la transmisión segura convirtiendo imágenes reconocibles en formas irreconocibles. Los métodos existentes suelen depender de sistemas caóticos o estructuras algebraicas, pero los autores identifican la necesidad de esquemas que combinen eficazmente las propiedades de sustitución, permutación y difusión para resistir ataques criptográficos comunes, tales como el análisis diferencial, lineal y estadístico.

Metodología
El artículo propone un novedoso esquema de cifrado de imágenes en escala de grises que integra una caja de sustitución (S-box) generada mediante una Transformación Fraccionaria Cúbica (CFT) con un mapa logístico. El proceso de cifrado para una imagen en escala de grises de $256 \times 256$ sigue un flujo de trabajo de tres etapas:

1. Generación de la S-Box y Sustitución:

   • Se construye una S-box utilizando la Transformación Fraccionaria Cúbica (CFT). La transformación se define como $F(x) = \frac{1}{ax^3 + b} \mod (2n+1)$, con parámetros específicos $a=95$ y $b=15$.
   • Para gestionar salidas inválidas (específicamente cuando el denominador es cero o los resultados caen fuera del rango válido), los autores aplican una CFT modificada que asigna valores específicos (0 y 106) a entradas problemáticas ($x=176$ y $x=184$).
   • Esta S-box generada se utiliza para sustituir los valores de los píxeles de la imagen original, creando una matriz de imagen sustituida $S'$.

2. Permutación (Difusión):

   • Se generan dos secuencias aleatorias utilizando la CFT con diferentes conjuntos de parámetros ($k_1$ y $k_2$) para dirigir el proceso de permutación.
   • El algoritmo aplica un desplazamiento circular por columnas a la imagen sustituida $S'$ utilizando la primera secuencia, seguido de un desplazamiento circular por filas utilizando la segunda secuencia. Esto resulta en una imagen pre-cifrada $P$.

3. Desorden (Confusión):

   • Se utiliza un mapa logístico, definido por $t_{n+1} = \gamma \times t_n (1 - t_n)$, para generar una secuencia caótica.
   • La secuencia se procesa para eliminar efectos transitorios y se convierte en valores enteros de 8 bits.
   • Se realiza una operación XOR bit a bit entre los píxeles de la imagen pre-cifrada y la secuencia caótica. El proceso emplea un mecanismo de retroalimentación donde el píxel cifrado actual depende del píxel cifrado anterior, el píxel pre-cifrado actual y el valor de la secuencia caótica.

Descifrado
El algoritmo de descifrado revierte el proceso:

1. La operación XOR se revierte utilizando la misma secuencia caótica generada por el mapa logístico.
2. Los desplazamientos circulares por filas y columnas se revierten utilizando las secuencias generadas por la CFT.
3. Se aplica la S-box inversa (derivada de los parámetros originales de la CFT) para restaurar los valores de los píxeles originales.

Contribuciones Clave

• Construcción Novedosa de la S-Box: El artículo afirma que este es el primer método que utiliza la Transformación Fraccionaria Cúbica específicamente para la construcción de una S-box para el cifrado de imágenes, extendiendo trabajos previos sobre Transformaciones Fraccionarias Lineales.
• Enfoque Híbrido: El esquema combina eficazmente las propiedades de confusión de una S-box construida algebraicamente con las capacidades de difusión de las permutaciones basadas en CFT y el desorden caótico del mapa logístico.
• Análisis de Seguridad Exhaustivo: Los autores proporcionan una evaluación rigurosa del esquema propuesto frente a métricas criptográficas estándar.

Resultados y Rendimiento
El algoritmo fue probado en imágenes estándar en escala de grises (Clock, Lena, Baboon, Pepper, Female) utilizando MATLAB R2017a. Los resultados indican:

• Espacio de Claves: El esquema utiliza cuatro claves secretas ($k_0, k_1, k_2, k_3$), lo que resulta en un espacio de claves de $2^{147}$, el cual excede el requisito mínimo para resistir ataques de fuerza bruta.
• Sensibilidad a la Clave: El sistema es altamente sensible a los cambios de clave; una alteración mínima (por ejemplo, $0.000000000000005$) en el parámetro $\gamma$ del mapa logístico resulta en una imagen descifrada completamente diferente, lo que evita el acceso no autorizado.
• Análisis Diferencial: El método propuesto logra valores altos de NPCR (Tasa de Cambio de Píxeles) y UACI (Intensidad de Cambio Promedio Unificado). Por ejemplo, la imagen Lena produjo un NPCR de 99.5910% y un UACI de 33.3255%, valores comparables o superiores a los de otros esquemas existentes, lo que indica una fuerte resistencia contra ataques de texto plano conocido y elegido.
• Coeficientes de Correlación: El cifrado reduce significativamente la correlación entre píxeles adyacentes. Mientras que las imágenes originales muestran una alta correlación (por ejemplo, 0.9451 para la horizontal de Lena), las imágenes cifradas muestran valores cercanos a cero (por ejemplo, -0.0049), rompiendo eficazmente las relaciones estadísticas.
• Entropía: La entropía de la información de las imágenes cifradas se aproxima al valor ideal de 8 (por ejemplo, 7.9973 para Lena), lo que indica una alta aleatoriedad e imprevisibilidad.
• Análisis de Histograma: Los histogramas de las imágenes cifradas exhiben una distribución uniforme, mostrando que no hay pistas estadísticas de la estructura de la imagen original.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que el algoritmo propuesto es un método seguro y eficaz para el cifrado de imágenes en escala de grises. Aseguran que la S-box específica construida mediante CFT posee fuertes propiedades criptográficas, incluyendo una alta no linealidad (promedio de 106.75), una baja probabilidad lineal (0.1484) y una baja probabilidad diferencial (0.0391), lo que la hace resistente al análisis criptográfico lineal y diferencial. El estudio concluye que la combinación de la sustitución/permutación basada en CFT y el desorden basado en el mapa logístico crea un sistema robusto capaz de resistir ataques criptográficos comunes, apto para cifrar imágenes de diversos tipos y tamaños.