A Grayscale image encryption using cubic fractional transformation and logistic map

Resumo Técnico: Criptografia de Imagens em Tons de Cinza Usando Transformação Fracionária Cúbica e Mapa Logístico

Definição do Problema
Na era tecnológica moderna, a rápida evolução da tecnologia da informação exige métodos robustos para a proteção de dados, particularmente de informações baseadas em imagens. Embora existam várias técnicas de criptografia, incluindo sistemas de chave simétrica e assimétrica, há uma necessidade contínua de algoritmos eficientes que garantam a transmissão segura ao converter imagens reconhecíveis em formas irreconhecíveis. Os métodos existentes frequentemente dependem de sistemas caóticos ou estruturas algébricas, mas os autores identificam a necessidade de esquemas que combinem efetivamente as propriedades de substituição, permutação e difusão para resistir a ataques criptográficos comuns, como as análises diferencial, linear e estatística.

Metodologia
O artigo propõe um novo esquema de criptografia de imagem em tons de cinza que integra uma caixa de substituição (S-box) gerada via Transformação Fracionária Cúbica (CFT) com um mapa Logístico. O processo de criptografia para uma imagem em tons de cinza de $256 \times 256$ segue um fluxo de trabalho de três estágios:

1. Geração de S-Box e Substituição:

   • Uma S-box é construída utilizando a Transformação Fracionária Cúbica (CFT). A transformação é definida como $F(x) = \frac{1}{ax^3 + b} \mod (2n+1)$, com parâmetros específicos $a=95$ e $b=15$.
   • Para lidar com saídas inválidas (especificamente quando o denominador é zero ou os resultados caem fora do intervalo válido), os autores aplicam uma CFT modificada que atribui valores específicos (0 e 106) a entradas problemáticas ($x=176$ e $x=184$).
   • Esta S-box gerada é usada para substituir os valores dos pixels da imagem original, criando uma matriz de imagem substituída $S'$.

2. Permutação (Difusão):

   • Duas sequências aleatórias são geradas usando a CFT com diferentes conjuntos de parâmetros ($k_1$ e $k_2$) para conduzir o processo de permutação.
   • O algoritmo aplica um deslocamento circular por coluna à imagem substituída $S'$ usando a primeira sequência, seguido por um deslocamento circular por linha usando a segunda sequência. Isso resulta em uma imagem pré-criptografada $P$.

3. Embaralhamento (Confusão):

   • Um mapa Logístico, definido por $t_{n+1} = \gamma \times t_n (1 - t_n)$, é utilizado para gerar uma sequência caótica.
   • A sequência é processada para eliminar efeitos transientes e convertida em valores inteiros de 8 bits.
   • Uma operação bitwise XOR é realizada entre os pixels da pré-imagem criptografada e a sequência caótica. O processo emprega um mecanismo de feedback onde o pixel criptografado atual depende do pixel criptografado anterior, do pixel pré-criptografado atual e do valor da sequência caótica.

Descriptografia
O algoritmo de descriptografia inverte o processo:

1. A operação XOR é revertida usando a mesma sequência caótica gerada pelo mapa Logístico.
2. Os deslocamentos circulares por linha e por coluna são revertidos usando as sequências geradas pela CFT.
3. A S-box inversa (derivada dos parâmetros originais da CFT) é aplicada para restaurar os valores originais dos pixels.

Principais Contribuições

• Construção de S-Box Inovadora: O artigo afirma que este é o primeiro método a utilizar a Transformação Fracionária Cúbica especificamente para a construção de uma S-box para criptografia de imagem, estendendo trabalhos anteriores sobre Transformações Fracionárias Lineares.
• Abordagem Híbrida: O esquema combina efetivamente as propriedades de confusão de uma S-box construída algebricamente com as capacidades de difusão de permutações baseadas em CFT e o caos aleatório do mapa Logístico.
• Análise de Segurança Abrangente: Os autores fornecem uma avaliação rigorosa do esquema proposto em relação às métricas criptográficas padrão.

Resultos e Desempenho
O algoritmo foi testado em imagens padrão em tons de cinza (Clock, Lena, Baboon, Pepper, Female) usando MATLAB R2017a. Os resultados indicam:

• Espaço de Chave: O esquema utiliza quatro chaves secretas ($k_0, k_1, k_2, k_3$), resultando em um espaço de chaves de $2^{147}$, o que excede o requisito mínimo para resistir a ataques de força bruta.
• Sensibilidade à Chave: O sistema é altamente sensível a mudanças de chave; uma alteração mínima (por exemplo, $0,000000000000005$) no parâmetro $\gamma$ do mapa Logístico resulta em uma imagem descriptografada completamente diferente, impedindo o acesso não autorizado.
• Análise Diferencial: O método proposto alcança altos valores de NPCR (Taxa de Mudança de Pixels) e UACI (Intensidade de Mudança Média Unificada). Por exemplo, a imagem Lena rendeu um NPCR de 99,5910% e um UACI de 33,3255%, comparáveis ou superiores aos esquemas existentes, indicando forte resistência a ataques de texto simples conhecido e escolhido.
• Coeficientes de Correlação: A criptografia reduz significativamente a correlação entre pixels adjacentes. Enquanto as imagens originais mostram alta correlação (ex: 0,9451 para Lena horizontal), as imagens cifradas mostram valores próximos de zero (ex: -0,0049), quebrando efetivamente as relações estatísticas.
• Entropia: A entropia de informação das imagens criptografadas aproxima-se do valor ideal de 8 (ex: 7,9973 para Lena), indicando alta aleatoriedade e imprevisibilidade.
• Análise de Histograma: Os histogramas das imagens criptografadas exibem uma distribuição uniforme, não mostrando pistas estatísticas da estrutura da imagem original.

Significância e Alegações
Os autores afirmam que o algoritmo proposto é um método seguro e eficaz para a criptografia de imagens em tons de cinza. Eles asseguram que a S-box específica construída via CFT possui fortes propriedades criptográficas, incluindo alta não-linearidade (média de 106,75), baixa probabilidade linear (0,1484) e baixa probabilidade diferencial (0,0391), tornando-a resistente às análias linear e diferencial. O estudo conclui que a combinação de substituição/permutação baseada em CFT e embaralhamento baseado em mapa Logístico cria um sistema robusto capaz de resistir a ataques criptográficos comuns, sendo adequado para criptografar imagens de diversos tipos e tamanhos.