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A Grayscale image encryption using cubic fractional transformation and logistic map

Cet article propose un schéma de chiffrement d'images en niveaux de gris qui combine une boîte S générée par une transformation fractionnaire cubique avec une carte logistique pour effectuer la substitution, la diffusion et le mélange basé sur le XOR, démontrant une sécurité robuste grâce à des analyses statistiques et de sensibilité aux clés exhaustives.

Auteurs originaux : Abdul Qadeer, Rashid Ali, Tahir Sajjad Ali

Publié 2026-07-22

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Abdul Qadeer, Rashid Ali, Tahir Sajjad Ali

Article original sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez le monde numérique comme une ville bouillonnante où les données sont la monnaie et les images sont les joyaux les plus précieux faisant l'objet de transactions. Dans cet échange à haute vitesse, protéger ces joyaux des voleurs est une bataille constante. C'est le monde de la cryptographie, la science de l'écriture secrète. En son cœur réside une idée simple mais puissante : prendre quelque chose de reconnaissable, comme une photo de votre visage, et le brouiller si profondément qu'il ressemble à du bruit statique pour quiconque ne possède pas la bonne clé. Pour ce faire, les cryptographes utilisent deux astuces principales. Premièrement, ils utilisent la substitution, qui consiste à remplacer chaque lettre d'un mot par un symbole complètement différent selon un livre de codes secret. Deuxièmement, ils utilisent le brouillage, qui revient à prendre un jeu de cartes, à les mélanger jusqu'à ce que l'ordre soit chaotique, puis à les distribuer. L'objectif est de rendre le résultat final si aléatoire qu'aucun motif ne peut être trouvé, garantissant que même si un pirate vole le message, il ne pourra pas en comprendre le sens sans les instructions spécifiques pour le déchiffrer.

Dans l'article intitulé « A Grayscale image encryption using cubic fractional transformation and logistic map », les chercheurs Abdul Qadeer, Rashid Ali et Tahir Sajjad Ali proposent une nouvelle recette en trois étapes pour brouiller les images en niveaux de gris (photos en noir et blanc) afin de les rendre incroyablement difficiles à percer. Ils n'utilisent pas seulement une astuce ; ils combinent un livre de codes sur mesure, une machine de mélange mathématique et un générateur chaotique pour créer une forteresse autour de l'image.

D'abord, l'équipe construit un S-box (boîte de substitution) personnalisé, qui fait office de livre de codes secret. Au lieu d'utiliser un livre de codes standard ou aléatoire, ils en construisent un à l'aide d'une formule mathématique appelée Transformation Fractionnaire Cubique (TFC). Considérez cela comme la confection d'une roue de chiffrement unique et sur mesure où chaque nombre de 0 à 255 (représentant les nuances de gris d'une photo) est remplacé par un nouveau nombre imprévisible. Les auteurs suggèrent que cette recette mathématique spécifique crée un livre de codes hautement non linéaire et résistant aux attaques courantes, avec une non-linéarité moyenne de 106,75.

Une fois que les valeurs des pixels ont été échangées à l'aide de ce livre de codes personnalisé, l'image conserve la même forme, mais avec des couleurs différentes. L'étape suivante est la permutation, ou le mélange. Les chercheurs utilisent la même mathématique de la TFC pour générer deux séquences aléatoires. Ces séquences agissent comme un ensemble d'instructions pour effectuer des décalages circulaires — imaginez faire glisser les lignes et les colonnes de l'image en cercle, comme un puzzle coulissant, mais d'une manière déterminée par les clés secrètes. Cette étape déplace les pixels de sorte qu'un pixel qui était initialement voisin de son compagnon se retrouve désormais loin de lui, brisant ainsi les motifs locaux.

Enfin, l'équipe applique un processus de brouillage utilisant une carte logistique, une fonction mathématique célèbre pour produire des séquences chaotiques et imprévisibles. Ils utilisent cela pour générer un flux de nombres aléatoires. Ensuite, ils effectuent une opération booléenne XOR (un type spécifique de mathématiques binaires) entre l'image mélangée et ce flux aléatoire. C'est le verrou final : cela mélange les données de l'image avec le chaos, garantissant que même un changement infime dans l'image originale ou la clé entraîne une image finale complètement différente.

Les chercheurs ont testé leur méthode sur des images de test standards telles que « Lena », « Baboon » et « Clock ». Leurs simulations montrent que les images cryptées résultantes ressemblent à du pur bruit statique. Lorsqu'ils ont mesuré l'entropie (une mesure du caractère aléatoire), les images cryptées ont obtenu un score très proche du maximum idéal de 8 (spécifiquement autour de 7,997), suggérant que les données sont hautement aléatoires. Ils ont également vérifié la sensibilité à la clé, constatant que le changement de la clé secrète par une quantité infime (comme l'ajout de 0,000000000000005) rendait impossible la récupération de l'image originale, prouvant que le système est extrêmement sensible à la clé correcte. De plus, les valeurs de NPCR (taux de changement du nombre de pixels) et de UACI (intensité de changement moyenne unifiée) étaient élevées (environ 99,6 % et 33,4 % respectivement), indiquant que le changement d'un seul pixel dans la photo originale provoque un changement massif et imprévisible dans la version cryptée.

L'article suggère que cette combinaison d'un S-box généré par TFC, d'un mélange basé sur la TFC et d'un brouillage par carte logistique crée un schéma de chiffrement robuste. Les auteurs concluent que leur méthode résiste aux attaques cryptographiques courantes, telles que tenter de deviner la clé ou d'analyser les motifs statistiques de l'image. Cependant, ces conclusions sont basées sur des simulations et une analyse mathématique des performances de l'algorithme sur des images de test, et non sur un déploiement réel face à des pirates actifs. Ce travail propose une méthode sécurisée pour protéger les images numériques, offrant une nouvelle façon de verrouiller les données visuelles à une époque où la vie privée est de plus en plus précieuse.

Résumé Technique : Chiffrement d'images en niveaux de gris par transformation fractionnaire cubique et application de la carte logistique

Énoncé du problème
Dans l'ère technologique moderne, l'évolution rapide de l'informatique nécessite des méthodes robustes pour la protection des données, particulièrement pour les informations basées sur l'image. Bien que diverses techniques de chiffrement existent, incluant les systèmes à clés symétriques et asymétriques, il existe un besoin continu d'algorithmes efficaces garantissant une transmission sécurisée en convertissant les images reconnaissables en formes méconnaissables. Les méthodes existantes reposent souvent sur des systèmes chaotiques ou des structures algébriques, mais les auteurs identifient un besoin pour des schémas combinant efficacement les propriétés de substitution, de permutation et de diffusion afin de résister aux attaques cryptographiques courantes telles que l'analyse différentielle, linéaire et statistique.

Méthodologie
L'article propose un nouveau schéma de chiffrement d'images en niveaux de gris qui intègre une boîte de substitution (S-box) générée via une transformation fractionnaire cubique (CFT) avec une carte logistique. Le processus de chiffrement pour une image en niveaux de gris de $256 \times 256$ suit un flux de travail en trois étapes :

Génération de la S-Box et Substitution :
- Une S-box est construite à l'aide de la transformation fractionnaire cubique (CFT). La transformation est définie comme $F(x) = \frac{1}{ax^3 + b} \mod (2n+1)$ , avec des paramètres spécifiques $a=95$ et $b=15$ .
- Pour gérer les sorties invalides (spécifiquement lorsque le dénominateur est nul ou que les résultats sortent de la plage valide), les auteurs appliquent une CFT modifiée qui assigne des valeurs spécifiques (0 et 106) aux entrées problématiques ( $x=176$ et $x=184$ ).
- Cette S-box générée est utilisée pour substituer les valeurs de pixels de l'image originale, créant ainsi une matrice d'image substituée $S'$ .
Permutation (Diffusion) :
- Deux séquences aléatoires sont générées à l'aide de la CFT avec des ensembles de paramètres différents ( $k_1$ et $k_2$ ) pour piloter le processus de permutation.
- L'algorithme applique un décalage circulaire par colonne à l'image substituée $S'$ en utilisant la première séquence, suivi d'un décalage circulaire par ligne en utilisant la seconde séquence. Cela produit une image pré-chiffrée $P$ .
Mélange (Confusion) :
- Une carte logistique, définie par $t_{n+1} = \gamma \times t_n (1 - t_n)$ , est utilisée pour générer une séquence chaotique.
- La séquence est traitée pour éliminer les effets transitoires et convertie en valeurs entières de 8 bits.
- Une opération XOR bit à bit est effectuée entre les pixels de l'image pré-chiffrée et la séquence chaotique. Le processus emploie un mécanisme de rétroaction où le pixel chiffré actuel dépend du pixel chiffré précédent, du pixel pré-chiffré actuel et de la valeur de la séquence chaotique.

Déchiffrement
L'algorithme de déchiffrement inverse le processus :

L'opération XOR est inversée en utilisant la même séquence chaotique générée par la carte logistique.
Les décalages circulaires par ligne et par colonne sont inversés en utilisant les séquences générées par la CFT.
La S-box inverse (dérivée des paramètres originaux de la CFT) est appliquée pour restaurer les valeurs de pixels originales.

Principales contributions

Construction novatrice de S-Box : L'article affirme qu'il s'agit de la première méthode utilisant la transformation fractionnaire cubique spécifiquement pour la construction d'une S-box pour le chiffrement d'images, étendant ainsi les travaux précédents sur les transformations fractionnaires linéaires.
Approche hybride : Le schéma combine efficacement les propriétés de confusion d'une S-box construite algébriquement avec les capacités de diffusion des permutations basées sur la CFT et le caractère aléatoire chaotique de la carte logistique.
Analyse de sécurité complète : Les auteurs fournissent une évaluation rigoureuse du schéma proposé par rapport aux mesures cryptographiques standards.

Résultats et performances
L'algorithme a été testé sur des images en niveaux de gris standards (Clock, Lena, Baboon, Pepper, Female) en utilisant MATLAB R2017a. Les résultats indiquent :

Espace de clés : Le schéma utilise quatre clés secrètes ( $k_0, k_1, k_2, k_3$ ), ce qui donne un espace de clés de $2^{147}$ , dépassant l'exigence minimale pour résister aux attaques par force brute.
Sensibilité à la clé : Le système est hautement sensible aux changements de clés ; une altération infime (par exemple, $0,000000000000005$) du paramètre $\gamma$ de la carte logistique entraîne une image déchiffrée complètement différente, empêant tout accès non autorisé.
Analyse différentielle : La méthode proposée atteint des valeurs NPCR (Taux de changement de nombre de pixels) et UACI (Intensité de changement moyenne unifiée) élevées. Par exemple, l'image Lena a produit un NPCR de 99,5910 % et un UACI de 33,3255 %, des valeurs comparables ou supérieures aux schémas existants, indiquant une forte résistance aux attaques à texte clair connu et choisi.
Coefficients de corrélation : Le chiffrement réduit considérablement la corrélation entre les pixels adjacents. Alors que les images claires présentent une corrélation élevée (par exemple, 0,9451 pour l'horizontal de Lena), les images chiffrées présentent des valeurs proches de zéro (par exemple, -0,0049), brisant ainsi les relations statistiques.
Entropie : L'entropie de l'information des images chiffrées approche la valeur idéale de 8 (par exemple, 7,9973 pour Lena), indiquant un caractère aléatoire et imprévisible élevé.
Analyse d'histogramme : Les histogrammes des images chiffrées présentent une distribution uniforme, ne montrant aucun indice statistique de la structure de l'image originale.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que l'algorithme proposé est une méthode sûre et efficace pour le chiffrement d'images en niveaux de gris. Ils soutiennent que la S-box spécifique construite via la CFT possède de fortes propriétés cryptographiques, notamment une haute non-linéarité (moyenne de 106,75), une faible probabilité linéaire (0,1484) et une faible probabilité différentielle (0,0391), ce qui la rend résistante aux cryptanalyses linéaires et différentielles. L'étude conclut que la combinaison de la substitution/permutation basée sur la CFT et du mélange basé sur la carte logistique crée un système robuste capable de résister aux attaques cryptographiques courantes, adapté au chiffrement d'images de divers types et tailles.

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